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\(n\) 個の数 \(x_{1}\) , \(x_{2}\) , \(\cdots\) , \(x_{n}\) に関する不等式証明で、見た目はキレイに循環している形です。
見た感じ、差を取ってどうのこうのできるようには思えませんし、通分しようものなら大騒ぎになります。
この与えられた形を活かす方向で考えていきたいところです。
本問は解答自体はアッサリしており、
聞けば簡単、解くのは大変
というタイプの問題なので、ネタバレしてしまうとチープに思えてきてしまう類の問題です。
(以下ネタバレ注意)
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ラフに考えると
今回の示すべき和の中の一般項は最後の部分で循環していますが、細かいことを抜きにして \(\displaystyle \frac{x_{k}}{x_{k}+x_{k+1}}\) について考えます。
\(\displaystyle \frac{x_{k}}{x_{k}+x_{k+1}}\) について、すごくラフに考えると
\(0 \lt \displaystyle \frac{x_{k}}{x_{k}+x_{k+1}} \lt 1\)
なので、
\(0 \lt \displaystyle \frac{x_{1}}{x_{1}+x_{2}}+\displaystyle \frac{x_{2}}{x_{2}+x_{3}}+\cdots+\displaystyle \frac{x_{n-1}}{x_{n-1}+x_{n}}+\displaystyle \frac{x_{n}}{x_{n}+x_{1}} \lt n\)
であることは即座に分かります。
今回示すべき不等式は、これよりも厳しく評価する必要があるわけです。
厳しく評価することを考えると
\(0 \lt \displaystyle \frac{x_{k}}{x_{k}+x_{k+1}} \lt 1\) として考えるのはラフすぎたということです。
下から押さえる
そこでまずは下から押さえます。
いくら何でも \(0\) より大きいというのは当たり前すぎたわけです。
そこで \(\displaystyle \frac{x_{k}}{x_{k}+x_{k+1}}\) を小さくしようと思うと、分母を大きくするというのがやりたいことの一つです。
なので、\(\displaystyle \frac{x_{k}}{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}} \lt \displaystyle \frac{x_{k}}{x_{k}+x_{k+1}}\) と見るのが第一感です。
上から押さえる
先ほどは
\(\displaystyle \frac{x_{k}}{x_{k}+x_{k+1}} \lt 1\) と見るとラフすぎたわけです。
つまり、\(\displaystyle \frac{x_{k}}{x_{k}+x_{k+1}}\) を \(1\) よりも小さい値で上から押さえることになります。
\(\displaystyle \frac{x_{k}}{x_{k}+x_{k+1}}\) 自体 \(1\) より小さいわけですが、その理由としては
\(\displaystyle \frac{x_{k}}{x_{k}+x_{k+1}}=1-\displaystyle \frac{x_{k+1}}{x_{k}+x_{k+1}}\) ということが根本にあるからです。
これを、皮切りに
\(1-\displaystyle \frac{x_{k+1}}{x_{k}+x_{k+1}} \lt 1-\displaystyle \frac{x_{k+1}}{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}\)
という評価に辿り着けると \(1\) より小さい値で上から押さえることになります。
解答はコチラ
