18°絡みの三角比　第３講【チェビシェフの多項式の利用】【2012年度早稲田大学ほか】

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。

代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。

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18°絡みの三角比　第１講【黄金三角形の黄金分割】【2009年度大阪教育大学】

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。このシリーズの一覧はこちら第１講は黄金三角形の黄金分割という話題です。黄金比について長方形 A から正方形を切り取って残った長方形を B とします。 A と B が相似であるとき、長方形 A を黄金長方形といい、その縦横比を $1 : x$ とすると、 \(1 : ...

18°絡みの三角比　第２講【正五角形の利用】【1997年度岐阜大学】

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。このシリーズの一覧はこちら第２講は正五角形の利用という話題です。正五角形はゴールドラッシュ正五角形の中には第１講で扱った「黄金三角形」が至る所に散りばめられています。まさに「ゴールドラッシュ」な状態です。黄金三角形については第１講で扱っ ...

18°絡みの三角比　第３講【チェビシェフの多項式の利用】【2012年度早稲田大学ほか】

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。このシリーズの一覧はこちら第３講はチェビシェフの多項式の利用という話題です。通常の流れ通常の例題 $\theta$ が $0 \leq \theta \leq \pi$ を満たしているとき \(2\cos^{2}{\theta}+\c ...

18°絡みの三角比　第４講【１の５乗根の利用】【1997年度金沢大学ほか】

例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。このシリーズの一覧はこちら第４講は１の５乗根の利用という話題です。複素数平面と三角関数の強力なコラボレーションが心地よく感じると思います。（以下ネタバレ注意） + クリック（タップ）して続きを読む最終的なオチ三角関数を扱ううえで、複素数平 ...

第３講は

チェビシェフの多項式の利用

という話題です。

通常の流れ

通常の例題

$\theta$ が $0 \leq \theta \leq \pi$ を満たしているとき

$2\cos^{2}{\theta}+\cos{\theta}-1=0$

を満たす $\theta$ を求めよ。

という問題であれば、

$(2\cos{\theta}-1)(\cos{\theta}+1)=0$

から $\cos{\theta}=\displaystyle \frac{1}{2}$ , $-1$ を得て、$0 \leq \theta \leq \pi$ の範囲であれば、$\theta=\displaystyle \frac{\pi}{3}$ , $\pi$ と得ます。

つまり、$\cos{\theta}$ の値を経由して $\theta$ の値を求めるという流れです。

本問の流れ

$3\theta=2\theta+2n\pi$ または $3\theta=-2\theta+2n\pi$

と、$\cos{ \ }$ の値が等しいということを翻訳し、

$\theta=2n\pi$ または $\theta=\displaystyle \frac{2n\pi}{5}$

を得ます。

$0 \leq \theta \leq \pi$ の範囲であれば、

$\theta=0$ , $\displaystyle \frac{2\pi}{5}$ , $\displaystyle \frac{4\pi}{5}$

とまず一旦 $\theta$ が得られます。

一方でこの $\theta$ は２倍角、３倍角の公式から

$2\cos^{2}{\theta}-1=4\cos^{3}{\theta}-3\cos{\theta}$

すなわち

$4\cos^{3}{\theta}-2\cos^{2}{\theta}-3\cos{\theta}+1=0$

を満たすような $\theta$ ですから、この $\cos{\theta}$ に関する３次方程式を因数分解し

$(\cos{\theta}-1)(4\cos^{2}{\theta}+2\cos{\theta}-1)=0$

て解くことで

$\cos{\theta}=1$ , $\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{4}$ , $\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{4}$

と紐づくことになります。

要するに本問は、$\theta$ の値が先に求まってから、その $\theta$ に対する $\cos{ \ }$ が求まるという流れです。

このあたりは「三角関数に関する方程式」という分野別の学習の観点から見ても教訓を含んでいます。

チェビシェフの多項式について

一般に

$\cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta})$ を満たす多項式 $T_{n}(x)$

のことを（第１種）チェビシェフの多項式といいます。

例をあげると

$\cos{1\theta}=\cos{\theta}$ より、$T_{1}(x)=x$

$\cos{2\theta}=2\cos^{2}\theta-1$ より、$T_{2}(x)=2x^2-1$

$\cos{3\theta}=4\cos^{3}\theta-3\cos{\theta}$ より、$T_{3}(x)=4x^3-3x$

などのようになります。

本問は、$T_{2}(x)=T_{3}(x)$ という方程式を誘導とする問題です。

チェビシェフの多項式そのものについて、深く学習したい場合は

テーマ別演習：チェビシェフの多項式

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をどうぞ。

第２種チェビシェフの多項式を誘導とした参考類題について

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

$\displaystyle \frac{\sin{n\theta}}{\sin{\theta}}=U_{n-1}(\cos{\theta})$ という $n-1$ 次式 $U_{n}(x)$ が存在する

この $U_{n}(x)$ は第２種チェビシェフの多項式と呼ばれます。

これを誘導とした参考類題も準備しましたので、併せて活用してください。

解答はコチラ

参考類題の解答はコチラ

18°絡みの三角比 第３講【チェビシェフの多項式の利用】【2012年度 早稲田大学ほか】

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通常の流れ

本問の流れ

チェビシェフの多項式について

テーマ別演習：チェビシェフの多項式

第２種チェビシェフの多項式を誘導とした参考類題について

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

18°絡みの三角比　第３講【チェビシェフの多項式の利用】【2012年度早稲田大学ほか】