問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
シンプルな問題ですが、泥沼に嵌まりかねない問題です。
手なりに文字を設定すると
\(A (\cos \alpha , \sin \alpha)\)
\(B(\sqrt{ 3 } \cos \beta , \sqrt{ 3 } \sin\beta)\)
\(C(\sqrt{ 3 } \cos \gamma , \sqrt{ 3 } \sin\gamma)\)
とおくと思います。
もちろんここから三角形 ABC の面積を出して、独立３変数関数の最大値問題として処理するという方針は数学的には正しいと思いますが、現実的に処理しきれる計算ではありません。
（少なくとも試験場では時間を失うだけでしょう。）
方針としては独立多変数についての最大問題ですから、「予選決勝法」という方針が最有力です。
予選決勝法とは
step
1まず、他のもの（文字や点）を固定し、一つずつ動かしてそのときの最大（最小）を出す。
ここでは \(x , y\) の独立２変数関数の最大を例に出します。
例えば、\(y\) を固定して、\(x\) だけ動かしたときの最大値を求めます。
ここで得られるのは、
\(y=1\) のときの最大値、\(y=2\) のときの最大値、\(y=3\) のときの最大値、\(\cdots\)
といったような最大値「たち」です。
（これがいわば予選通過者で、\(y\) の式で与えられています）
step
2次に固定していたものの固定を外し、総合的な最大（最小）を出す。
strp 1 で得られた最大値たちの中の最大値を求めにいきます。
それはすなわち
\(y\) がどんな値のときの最大値がチャンピオンなのか
ということですから、先ほど固定していた \(y\) の固定を外して動かしていきます。
そのときの最大値こそ総合的な最大値ということになります。
今回のテーマは予選決勝法というテーマに加え、「固定の方法の工夫」という部分もテーマの一つです。
３点が一気に動かれると訳が分からないので、まずは２点を固定し、１点だけに動いてもらいます。
もちろんこの２点は後々のことを考えれば \(B , C\) でしょう。
ただ、闇雲に固定しても計算量は減りません。
そこをどう工夫するのかが、ポイントです。
解答を見る前に考えてみてください。
（以下ネタバレ注意）