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流し読みして、問題をざっと見たとき、線分の通過領域というワードを見て少し身構えました。
直線の通過領域にしても差が付くテーマなのですが、線分の通過領域となると、範囲が制限されているので、さらに厄介になることが多いからです。
ただ、今回の問題については解き進めていくうちに、「目で追い切れる」ことが分かります。
(1) はオチの分かっている因数分解からの、解と係数の関係の利用
(2) は軌跡の基本
であり、確保したいところです。
(3) の通過領域は、線分の端点 \(P\) , \(S\) が乗っている曲線が得られている状態で、 \(1\) という一定の傾きを保ちながら動くことを考えると、直接通過領域を目で追うことができるでしょう。
題意の通過領域を把握できれば、あとは面積計算です。
工夫の余地もあると言えばありますが、うまく説明できる自信がなければ、真正面から計算してしまうか、真正面から計算しているふりをして、計算結果のみは工夫して導出した値を利用するのがよいでしょう。
難易度は標準ですが、図示する際に位置関係などを把握するのに時間がかかるかもしれません。