年別アーカイブ：2024年

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(n\) 色を準備し、立方体の各面を隣り合う面が異色となるように塗り分ける確率について考察する問題です。 立方体の塗り分けについての場合の数の問題だと、回転による一致や、裏返しによる一致を考慮する必要が出てきたりして、苦い思いをした経験がある人が多いと思います。 それに引きずられると、下手なことを考え出してクシャクシャになりかねません。 本問は確率の問題であり、各面に区別をつけ、全事象を \(n^{6}\) 通りとして考えることで、上述の回 ...

2024年度東大理系　各解説記事 １５０分 ６題 記述式 と、形式に変更はありません。 分野的トピックス 微積分、座標に関する分野が目立つものの基本的には各分野がバランスよく出題されています。 空間座標、確率漸化式、微積分、整数といった東大理系の頻出分野がしっかりと出題されたと言ってよいでしょう。 複素数平面は一昨年、昨年に引き続き３年連続で出題されていません。 各大問について 第１問（やや易） 問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 空間座標における角度を扱う問題で、 内積を用い ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ３次式への代入値が素数となる条件に付いて考察する問題です。 (1) は具体的な場合であり、 \(f(n)=n(n^{2}+10n+20)\) と因数分解できますので、これが素数となるとしたら \(n=1\) \(n=-1\) \(n^{2}+10n+20=1\) \(n^{2}+10n+20=-1\) という４パターンに限られます。 あとはこれを個別検証していくことになります。 難易度的に (1) は落とせないでしょう。 (2) も (1) ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 空間における三角形の回転体の体積というシンプルな題意です。 空間座標における回転体の体積は東大頻出のトピックスで、凝ったものから標準的なものまで出題されてきましたが本問は標準寄りの問題です。 過去問を通じて演習を積み、しっかりと仕上げてきた受験生であれば心理的に慌てずに立ち向かえたと思います。 一般に 空間座標における回転体の扱い方 全体像を捨てろ 切ってから回す（先に回すな） 回転の中心からの最大距離・最小距離を捉える がポイントになる点で ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 放物線と接する円に関する座標の問題です。 放物線と円が接点を共有し、共通接線をもつときを考えるわけですが、目につく方針が色々あるため、目移りするかもしれません。 円 \(C_{t}\) の方程式を立式するために必要な中心の座標、半径 (の２乗)を (1) で考えることになります。 したがって、ここを落とすと (2) まで被害が及ぶため、計算ミスが命取りとなります。 (2) は正しく計算できれば、結局は４次方程式の実数解の個数の問題に帰着するの ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 座標平面上を\(x\) 軸、\(y\) 軸、\(y=x\)、\(y=-x\) を対称軸として対称移動していく動点 \(\mathrm{P}\) に関する確率の問題です。 良心的な誘導設問があるため、その誘導にきちんと乗れれば完答も無理はないレベルでしょう。 本問は \(p_{n}\) などの設定が問題文の段階では設定されていないため、漸化式を導入するか否かという判断は自分ですることになります。 本問は動点 \(\mathrm{P}\) は限ら ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 絶対値付きの定積分で表された関数の最大値と最小値を求める問題です。 絶対値を外すにあたって本来であれば場合分けが必要ですが、\(0 \leq x \leq 1\) によって \(\displaystyle \int_{0}^{x} \displaystyle \frac{|t-x|}{1+t^{2}}dt+\displaystyle \int_{x}^{1} \displaystyle \frac{|t-x|}{1+t^{2}}dt\) と区 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 空間座標における角度の扱いをシンプルに訊いています。 座標において角度を扱う手法としては、様々な方法がありますが、空間座標においては ベクトルの内積を用いて \(\mathrm{cos}\) 経由で処理する という路線が最有力の路線です。 今回の角度は符号付きの角度ではないため、\(0\) から \(\pi\) までの角度で考えればよく、この範囲で\(\mathrm{cos}\) は単調減少ですから 条件 (ⅱ) は \(\cos{\angl ...