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３次式への代入値が素数となる条件に付いて考察する問題です。
(1) は具体的な場合であり、
\(f(n)=n(n^{2}+10n+20)\)
と因数分解できますので、これが素数となるとしたら
- \(n=1\)
- \(n=-1\)
- \(n^{2}+10n+20=1\)
- \(n^{2}+10n+20=-1\)
という４パターンに限られます。
あとはこれを個別検証していくことになります。
難易度的に (1) は落とせないでしょう。
(2) も (1) 同様
\(g(n)=n(n^{2}+an+b)\)
と因数分解でき、\(g(n)\) が素数になるとしたら
- \(g(1)\)
- \(g(-1)\)
- \(g(p)\) (\(p\) は素数)
- \(g(-q)\) (\(q\) は素数)
という４タイプに限られるという部分までは行き着いてほしいところです。
ここからの論証がやや難しく、基本的には
題意の \(n\) が４つ以上あるとしたらヤバイのか？
という逆説的な目で見て、背理法を睨んでいきます。
具体的には
- \(g(1)\) , \(g(-1)\) , \(g(p_{1})\) , \(g(p_{2})\)
- \(g(1)\) , \(g(-1)\) , \(g(-q_{1})\) , \(g(-q_{2})\)
- \(g(1)\) , \(g(-1)\) , \(g(p)\) , \(g(-q)\)
というパターンで素数となることがあり得ないことを目指します。