2024年度東大理系 各解説記事
2024年度 東京大学理系第１問【空間座標における角度の処理】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 空間座標における角度の扱いをシンプルに訊いています。 座標において角度を扱う手法としては、様々な方法がありますが、空間座標においては ベクトルの内積を用いて \(\mathrm{cos}\) 経由で処理する という路線が最有力の路線です。 今回の角度は符号付きの角度ではないため、\(0\) から \(\pi\) までの角度で考えればよく、この範囲で\(\mathrm{cos}\) は単調減少ですから 条件 (ⅱ) は \(\cos{\angl ...
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2024年度 東京大学理系第２問【絶対値付きの定積分とtan置換】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 絶対値付きの定積分で表された関数の最大値と最小値を求める問題です。 絶対値を外すにあたって本来であれば場合分けが必要ですが、\(0 \leq x \leq 1\) によって \(\displaystyle \int_{0}^{x} \displaystyle \frac{|t-x|}{1+t^{2}}dt+\displaystyle \int_{x}^{1} \displaystyle \frac{|t-x|}{1+t^{2}}dt\) と区 ...
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2024年度 東京大学理系第３問【対称性のある確率漸化式】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 座標平面上を\(x\) 軸、\(y\) 軸、\(y=x\)、\(y=-x\) を対称軸として対称移動していく動点 \(\mathrm{P}\) に関する確率の問題です。 良心的な誘導設問があるため、その誘導にきちんと乗れれば完答も無理はないレベルでしょう。 本問は \(p_{n}\) などの設定が問題文の段階では設定されていないため、漸化式を導入するか否かという判断は自分ですることになります。 本問は動点 \(\mathrm{P}\) は限ら ...
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2024年度 東京大学理系第４問【放物線と接する円】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 放物線と接する円に関する座標の問題です。 放物線と円が接点を共有し、共通接線をもつときを考えるわけですが、目につく方針が色々あるため、目移りするかもしれません。 円 \(C_{t}\) の方程式を立式するために必要な中心の座標、半径 (の２乗)を (1) で考えることになります。 したがって、ここを落とすと (2) まで被害が及ぶため、計算ミスが命取りとなります。 (2) は正しく計算できれば、結局は４次方程式の実数解の個数の問題に帰着するの ...
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2024年度 東京大学理系第５問【空間の三角形の回転体】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 空間における三角形の回転体の体積というシンプルな題意です。 空間座標における回転体の体積は東大頻出のトピックスで、凝ったものから標準的なものまで出題されてきましたが本問は標準寄りの問題です。 過去問を通じて演習を積み、しっかりと仕上げてきた受験生であれば心理的に慌てずに立ち向かえたと思います。 一般に 空間座標における回転体の扱い方 全体像を捨てろ 切ってから回す（先に回すな） 回転の中心からの最大距離・最小距離を捉える がポイントになる点で ...
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2024年度 東京大学理系第６問【代入値が素数となる条件】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） ３次式への代入値が素数となる条件に付いて考察する問題です。 (1) は具体的な場合であり、 \(f(n)=n(n^{2}+10n+20)\) と因数分解できますので、これが素数となるとしたら \(n=1\) \(n=-1\) \(n^{2}+10n+20=1\) \(n^{2}+10n+20=-1\) という４パターンに限られます。 あとはこれを個別検証していくことになります。 難易度的に (1) は落とせないでしょう。 (2) も (1) ...
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と、形式に変更はありません。
分野的トピックス
微積分、座標に関する分野が目立つものの基本的には各分野がバランスよく出題されています。
空間座標、確率漸化式、微積分、整数といった東大理系の頻出分野がしっかりと出題されたと言ってよいでしょう。
複素数平面は一昨年、昨年に引き続き３年連続で出題されていません。
各大問について
第１問（やや易）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
空間座標における角度を扱う問題で、
- 内積を用いて \(\mathrm{cos}\) 経由で処理する
というのが定石的な路線です。
この路線自体は定番の路線であり、方針面で困ることがあってはなりません。
途中、根号が絡む同値変形を求められますが、これもしっかり学習している受験生からすれば問題はありません。
怖いのは計算ミスぐらいのものでしょう。
難易度はやや易です。
第２問（標準）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
絶対値付きの定積分で表された関数の最大値と最小値を求める問題です。
本来場合分けが必要ですが、\(0 \leq x \leq 1\) という条件があるため、場合分けなしで
\(\displaystyle \int_{0}^{x} \displaystyle \frac{|t-x|}{1+t^{2}}dt+\displaystyle \int_{x}^{1} \displaystyle \frac{|t-x|}{1+t^{2}}dt\)
と区間を分割できるため、
\(\displaystyle \int_{0}^{x} \displaystyle \frac{x-t}{1+t^{2}}dt+\displaystyle \int_{x}^{1} \displaystyle \frac{t-x}{1+t^{2}}dt\)
と絶対値が外せます。
こうなってくると、形的には当然
\(t=\tan{\theta}\)
という置換積分による処理が待ち構えているということが分かると思います。
定積分で表される関数において
\(x\) , \(t\) がごっちゃになる
という受験生にありがちな山場に加えて、\(\tan{\alpha}\) という新たな文字も登場することから、文字と文字の対応を丁寧に追っていく必要があり、一般の受験生が躓きやすいポイントをうまく狙っている問題です。
東大理系の受験生であれば、このレベルの問題をストレスなく捌けるということが必要でしょう。
難易度は標準で、合格者にとってのスタンダードと言えます。
第３問（標準～やや難）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
確率漸化式の中でも対称性のある確率漸化式という、東大がしばしば出題するタイプの問題です。
標準的な問題であれば、問題文の段階から数列（確率）が \(p_{n}\) などと設定してあり、確率漸化式の問題であることが分かることが多いのですが、本問は問題文の中で、モロに確率漸化式ということは匂わせておらず、自分で数列（確率）を設定し、漸化式を立式していくことが求められます。
とり得る点が８つあることから、８種の数列を設定することになりますが、対称性から４種の連立漸化式を解くことに帰着します。
漸化式における \(n\) の定義域など注意しなければならないポイントはいくつかあるため、最後までバシッと合わせることは口で言うほど簡単ではないと思います。
難易度は標準～やや難と意見が割れるレベルです。（個人的な感想としては標準寄り）
第４問（標準）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
放物線と円が接するというシチュエーションを捌くわけですが、様々な方針が考えられ、目移りするかもしれません。
円 \(C_{t}\) の方程式を立てるのに必要な中心の座標や半径 (の２乗) を (1) で準備するために、(1) を落とすと (2) まで被害が及んでしまいます。
(2) は正しく計算できれば、結局は４次方程式の実数解の個数の問題に帰着するのですが、そこに至るまでには東大らしい計算量があり、試験場で計算を合わせるのは簡単ではないでしょう。
問題の難易度自体は標準と言ってよいでしょう。
第５問（標準）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
空間における回転体の体積という、これまた東大お得意のトピックスで、過去問も豊富なため、しっかりと準備してきた受験生からすれば慌てずに立ち向かえたと思います。
東大の過去の問題に比べると、本問は安心感を感じることができると思います。
やること自体は明確であり、手なりに回転軸に垂直に切り、回転の中心からの最大距離と最小距離に注目して断面積を考えていけばよいのですが、場合分けに次ぐ場合分けが登場するため、整理力がモノを言います。
難易度は標準です。
第６問（やや難）
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
３次式への代入値が素数となる条件について考察する問題です。
(1) は具体的な場合での実験的設問であり、これを落とすと致命傷になりかねません。
(2) は \(g(n)\) が素数となる \(n\) としては
- \(n=1\)
- \(n=-1\)
- \(n=p\) (\(p\) は素数)
- \(n=-q\) (\(q\) は素数)
という４パターンしかあり得ないという部分までは東大受験生であれば行き着けると思います。
ここから先の論証がやや難しく、式的な考察だけでなく、グラフ的な考察もある程度必要で、総合的な力が問われます。
難易度はやや難です。
なお、本問とは若干ニュアンスが異なりますが、代入した値が素数となるという話題について
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参考素数生成多項式【2002年度 慶応義塾大学】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 本問にまつわる話としては、オイラーの見つけた \(f(x)=x^{2}+x+41\) という式が有名です。 \(f(0)=41\) \( ...
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という記事も扱っていますので、よろしければ参考にしてみてください。
全体的に
ここ２年がヒリつくような難易度でしたが、2024年度はある程度手が付けやすい問題群だったと思います。
特に昨年度 (2023年度) は完答しにくいセットだったのに対して、今年 (2024年度) は第６問を除き、どれも完答が現実的というセットでした。
全体的な難易度としては昨年比でやや易化です。
それでも、東大特有の計算量や処理量は健在で、150 分という制限時間付きということを考えると、しっかりと答案として仕上げるという面での難しさは残るでしょう。
こういった出題となると、数学の力が合否に与える影響は大きくなると予想されます。
2024年度東大理系 各解説記事
2024年度 東京大学理系第１問【空間座標における角度の処理】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 空間座標における角度の扱いをシンプルに訊いています。 座標において角度を扱う手法としては、様々な方法がありますが、空間座標においては ベクトルの内積を用いて \(\mathrm{cos}\) 経由で処理する という路線が最有力の路線です。 今回の角度は符号付きの角度ではないため、\(0\) から \(\pi\) までの角度で考えればよく、この範囲で\(\mathrm{cos}\) は単調減少ですから 条件 (ⅱ) は \(\cos{\angl ...
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2024年度 東京大学理系第２問【絶対値付きの定積分とtan置換】
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問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 座標平面上を\(x\) 軸、\(y\) 軸、\(y=x\)、\(y=-x\) を対称軸として対称移動していく動点 \(\mathrm{P}\) に関する確率の問題です。 良心的な誘導設問があるため、その誘導にきちんと乗れれば完答も無理はないレベルでしょう。 本問は \(p_{n}\) などの設定が問題文の段階では設定されていないため、漸化式を導入するか否かという判断は自分ですることになります。 本問は動点 \(\mathrm{P}\) は限ら ...
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2024年度 東京大学理系第４問【放物線と接する円】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 放物線と接する円に関する座標の問題です。 放物線と円が接点を共有し、共通接線をもつときを考えるわけですが、目につく方針が色々あるため、目移りするかもしれません。 円 \(C_{t}\) の方程式を立式するために必要な中心の座標、半径 (の２乗)を (1) で考えることになります。 したがって、ここを落とすと (2) まで被害が及ぶため、計算ミスが命取りとなります。 (2) は正しく計算できれば、結局は４次方程式の実数解の個数の問題に帰着するの ...
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2024年度 東京大学理系第５問【空間の三角形の回転体】
問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 空間における三角形の回転体の体積というシンプルな題意です。 空間座標における回転体の体積は東大頻出のトピックスで、凝ったものから標準的なものまで出題されてきましたが本問は標準寄りの問題です。 過去問を通じて演習を積み、しっかりと仕上げてきた受験生であれば心理的に慌てずに立ち向かえたと思います。 一般に 空間座標における回転体の扱い方 全体像を捨てろ 切ってから回す（先に回すな） 回転の中心からの最大距離・最小距離を捉える がポイントになる点で ...
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