月別アーカイブ：2023年03月

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 三角関数に関する方程式の解と、その解の個数に関する極限について考える問題です。 今回の \(\sin{3x}+\sin{x}=0\) という方程式の解を求めること自体は基本的なレベルであり、(1) は確保しないとツライものがあります。 実質は (2) の勝負です。 \(m\) 以下の解の個数を把握しようと思うと \(m\) がどの程度の大きさなのか ということに興味がいくでしょう。 今回の方程式の正の解は \(x=\displaystyle ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(\mathrm{A}\) ,  \(\mathrm{B}\) の２人が玉を交互に取り出していき、 \(\mathrm{A}\) が赤玉を取り出したら \(\mathrm{A}\) の勝ち \(\mathrm{B}\) が白玉を取り出したら \(\mathrm{B}\) の勝ち というゲームに関する確率です。 (1) ,  (2)  いずれにしても、題意を満たすような玉の取り出し方は限定的なので、どのような事象が起こればよいのかを追っていき ...

2023年度京大理系　各解説記事 １５０分 ６題 記述式 と、形式に変更はありません。 分野的トピックス 昨年は数Ⅲからの出題は１題のみでしたが、今年は３大問で数Ⅲからの出題がありました。 また、京大頻出の整数分野については、第６問の中にその要素はあったものの前面に押し出した整数問題というわけではありませんでした。 各大問について 第１問 問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 京大が定期的に採用する各問が独立した小問形式の大問です。 2021年はこの独立小問形式の大問が２題あり、 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） \(\mathrm{cos}\) の \(n\) 倍角の式を用いた論証問題です。 チェビシェフの多項式と呼ばれるネタがありますが、それにまつわる類題経験がないと厳しいでしょう。 チェビシェフの多項式に関するシリーズはコチラ 本問はチェビシェフの多項式がもつ特徴的な性質を自分で抽出して利用することが求められます。 性質そのものはもちろん、その性質の導出過程においても経験がモノを言いますので、知識的な側面が強い問題だと思います。 解答はコチラ

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 線分の通過領域による立体の体積を求める問題です。 点 \(\mathrm{P}\) は１次元的な動きですが、点 \(\mathrm{Q}\) は２次元的な動きをします。 同時に動かすと中々想像がつきませんが、ひとまず 点 \(\mathrm{P}\) を固定して \(\mathrm{Q}\) だけ動かす といったように、一つずつ動かすと分かりやすいでしょう。 独立２変数の扱いに通じる部分がありますね。 この態度で考えを進めると、結局は \(\ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 関数の最大値、最小値を求めるという極めてド直球なテーマです。 今回の \(f(x)\) は \(g(x)=x+\displaystyle \frac{1}{x}\) \(h(x)={e}^{-x^{2}}+\displaystyle \frac{1}{4}x^{2}+1\) と設定した際に \(f(x)=g(h(x))\) という形になっているいわゆる合成関数です。 \(y={e}^{-x^{2}}+\displaystyle \frac{1 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） サイコロを投げて出た目の総積について考える問題で、話題としては典型テーマです。 悪くいってしまえば正直どの大学で出題されてもおかしくなく、個性はないと言ってよいでしょう。 下手をすると進学校であれば定期考査レベルの問題ですので、正直言って確保しないと大ダメージです。 （この問題で配点３０点ですからね。） 特に (1) は京大を本気で目指してきた受験生からするとバカにするなという感想が出てきてもおかしくないでしょう。 解答はコチラ なお、京大は ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 空間ベクトルについての基本問題です。 内分点、中点の位置ベクトルの導出 共線条件 ２直線が交点をもつ条件 など、空間ベクトルに関する基本事項のセットとなっています。 なお、あまり律儀にお絵描きする必要はなく、立式の補助としてある程度の図で構わないでしょう。 問題によってはある程度正確に図を書き、図形的な考察を通さないと負担が重くなるような問題もありますが、本問はある程度ラフな図でも立式さえできれば、式的な処理で押し通せる範疇です。 そういった ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 京大が定期的に取り入れる小問集合形式の問いです。 いずれも完答は現実的な範疇ですので、ここをキッチリと取って勢いにのっていきたいところです。 問１は基本的な定積分の計算問題で、部分積分一発で沈みます。 問２は年度に絡めた高次式 \(x^{2023}-1\) を \(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\) で割ったときの、余りについて考える問題です。 \(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\) という形を見て \(x^{5}-1 ...

2023年度東大理系　各解説記事 １５０分 ６題 記述式 と、形式に変更はありません。 分野的トピックス 東大が好む整数分野からの出題がありませんでした。 また、全体的に第３問、第４問、第６問など図形に関する出題が目立ちました。 各大問について 第１問（標準） 問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 定積分の不等式評価をし、それを用いてはさみうちの原理で極限を求める問題です。 流れ自体は定番の流れなので、ざっくりとしたシナリオ自体は読み取れますし、(1) の結果を認めてしまえば ( ...