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空間座標における球面、平面、直線に関する問題です。
手始めに球の中心と平面 \(\mathrm{ABC}\) との距離を求め、次に球の中心の座標を求め、オチは球と直線の２交点の距離を求めるという流れです。
計算量、難易度はともに標準的で、今年 (2023年) のセットの中では唯一無理のない範囲で完答が狙える問題です。
律儀に \(x\) 軸、\(y\) 軸、\(z\) 軸を書いてやろうとすると見にくく使い物にならない絵を貴重な時間を割いて書くことになります。
必要な情報を抽出して見やすい図をかくことを心がけましょう。
また、中心の座標が \((a \ , \ b \ , \ c)\) , 半径が \(r\) の球面は
\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}\)
という直交座標表示で表現できますが、空間座標における直線は
ベクトル方程式で表現する
というのが基本となります。
交点を扱う際には、「連立する」というのが基本的な考え方ですが、本問においては
- 直交座標表示で表された球と、ベクトル方程式で表された直線を連立する
ということになります。
そのあたりを意識せずに無意識にできてしまう人もいるでしょうが、自分が何をやっているのかを理解しながら解き進めることが大切であるということを学ぶための題材となる問題です。