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線分の通過領域による立体の体積を求める問題です。
点 \(\mathrm{P}\) は１次元的な動きですが、点 \(\mathrm{Q}\) は２次元的な動きをします。
同時に動かすと中々想像がつきませんが、ひとまず
- 点 \(\mathrm{P}\) を固定して \(\mathrm{Q}\) だけ動かす
といったように、一つずつ動かすと分かりやすいでしょう。
独立２変数の扱いに通じる部分がありますね。
この態度で考えを進めると、結局は
\(\mathrm{P}\)\((p \ , \ 0 \ , \ 0)\) , \(\mathrm{Q}\)\((0 \ , \ 1-p \ , \ 0)\)
を通る \(xy\) 平面上の線分 \(\mathrm{PQ}\) を \(0 \leq p \leq 1\) で動かした際の通過領域の \(x\) 軸回転体の体積を考えることに帰着します。
- 一見回転体に見えないけれども、実は回転体である
ということで、自分で回転体だと見出す必要があり、それなりに敷居が高くなります。
点を一つ固定して考えたり、回転体であることを受験生側に看破させたり、という類の体積問題は東大に過去問が多く、解いていて東大っぽさを感じました。