2022年度 大阪大学 理系数学【総評と感想】

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 線分の通過領域をテーマとする難関大では頻出の話題です。 本サイトでも、 などで扱っています。 この話題に対しては、順像法、逆像法、包絡線など、様々な解法があります。 特に逆像法については、考え方が独特であり、ある程度数をこなし慣れていないと中々自分のものにすることが難しいでしょう。 本サイトでは テーマ別演習：逆像法 で扱っており、通過領域に関しては第３講で扱っています。 通過領域は、話題的に難易度は高いですが、難関大においては登場頻度は高く ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 縮小関数によって定まる漸化式によって定まる数列の極限を考える問題で、難関大を目指すにあたっては経験を積んでおきたい話題です。 本問は今回のテーマを学ぶにあたって、標準的な内容であり、今後このテーマの例題として様々な教材で扱われるでしょう。 キーワード ①：$f'$ の範囲 ( 最大・最小 ) ②：$f(x)=x$  (不動点の存在) ③：$a_{n+1}=f(a_{n})$ という漸化式 オチはあらかた決まっていて、③の漸化式と② ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） パラメータ表示された曲線による面積を考える問題です。 話題としては定番の話題であり、方針面で何をしてよいのかが分からないということがあってはなりません。 今回のパラメータ曲線を図示すると   という概形になります。 見づらくて申し訳ないですが、微妙に膨らんでおり、$x$ 軸に沿って積分していく場合、くり抜きの作業が発生します。 本問の山場は パラメータ表示された曲線の図示 くり抜き作業を伴う積分計算の工夫 ということになります。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） １次分数変換による点の軌跡を求める定番の話題です。 手元に $|z-\displaystyle \frac{3}{2}|=r$ という $z$ を縛っている式があります。 この状況で、$w$ を縛っている式を Get したいわけです。 $z$ ,  $w$ の関係式である $z+w=zw$ という式から $z=w の式$ という形にして、先ほどの \(|z-\displaystyle \frac{3}{2}|=r\ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） $\cos{n\theta}$ が $\cos{\theta}$ の $n$ 次式で表せるという チェビシェフの多項式 という有名ネタをベースとした問題です。 阪大受験生であれば、この類の類題は経験したことがあるとは思います。 流れが独特なところもあるため、経験による部分が大きい問題ではあります。 特に最後のオチの (3) については、 整数係数方程式特有の話題 \(a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdot ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 線分の通過領域をテーマとする難関大では頻出の話題です。 本サイトでも、 などで扱っています。 この話題に対しては、順像法、逆像法、包絡線など、様々な解法があります。 特に逆像法については、考え方が独特であり、ある程度数をこなし慣れていないと中々自分のものにすることが難しいでしょう。 本サイトでは テーマ別演習：逆像法 で扱っており、通過領域に関しては第３講で扱っています。 通過領域は、話題的に難易度は高いですが、難関大においては登場頻度は高く ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 縮小関数によって定まる漸化式によって定まる数列の極限を考える問題で、難関大を目指すにあたっては経験を積んでおきたい話題です。 本問は今回のテーマを学ぶにあたって、標準的な内容であり、今後このテーマの例題として様々な教材で扱われるでしょう。 キーワード ①：$f'$ の範囲 ( 最大・最小 ) ②：$f(x)=x$  (不動点の存在) ③：$a_{n+1}=f(a_{n})$ という漸化式 オチはあらかた決まっていて、③の漸化式と② ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） パラメータ表示された曲線による面積を考える問題です。 話題としては定番の話題であり、方針面で何をしてよいのかが分からないということがあってはなりません。 今回のパラメータ曲線を図示すると   という概形になります。 見づらくて申し訳ないですが、微妙に膨らんでおり、$x$ 軸に沿って積分していく場合、くり抜きの作業が発生します。 本問の山場は パラメータ表示された曲線の図示 くり抜き作業を伴う積分計算の工夫 ということになります。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第５弾です。 このシリーズのまとめはこちら   これまでのチェビシェフの多項式 $T_{n}(x)$ と似ていますが、$\cos{n\theta}$ ではなく、$2\cos{n\theta}$ や、\( ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第６弾です。 このシリーズのまとめはこちら     背景的知識を抜きにしても本問を解くことはできますので、まずは正攻法で挑んでほしいと思います。   （以下ネタバレ注意）   + クリ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第７弾です。 【前回までの内容】   今回はミニマックス原理というものが背景にある問題を扱います。 一連の流れが非常に独特です。 誘導があるならともかく、誘導なしの場合、初見で対応するのはかなり難しいと思います。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 このシリーズのまとめはこちら   まず、 $\cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta})$ を満たす多項式 $T_{n}(x)$ のことを（第１種）チェビシェフの多項式といいます。 例をあげ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第２弾です。 このシリーズのまとめはこちら 今回はチェビシェフの多項式 $T_{n}(x)$ が満たす漸化式について考えます。 チェビシェフの多項式 $T_{n}(x)$ は チェビシェフの多項式が満たす漸化式 $$ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第３弾です。 このシリーズのまとめはこちら 前回までに $\cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta})$ を満たす多項式 $T_{n}(x)$ について考えてきました。 じゃあ \(\sin{n ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第４弾です。 このシリーズのまとめはこちら 今回のテーマは $y=T_{n}(x)$ のグラフの特徴です。 本問は前回までと違って $\cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta})$ といったよう ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第５弾です。 このシリーズのまとめはこちら   これまでのチェビシェフの多項式 $T_{n}(x)$ と似ていますが、$\cos{n\theta}$ ではなく、$2\cos{n\theta}$ や、\( ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第６弾です。 このシリーズのまとめはこちら     背景的知識を抜きにしても本問を解くことはできますので、まずは正攻法で挑んでほしいと思います。   （以下ネタバレ注意）   + クリ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第７弾です。 【前回までの内容】   今回はミニマックス原理というものが背景にある問題を扱います。 一連の流れが非常に独特です。 誘導があるならともかく、誘導なしの場合、初見で対応するのはかなり難しいと思います。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 線分の通過領域をテーマとする難関大では頻出の話題です。 本サイトでも、 などで扱っています。 この話題に対しては、順像法、逆像法、包絡線など、様々な解法があります。 特に逆像法については、考え方が独特であり、ある程度数をこなし慣れていないと中々自分のものにすることが難しいでしょう。 本サイトでは テーマ別演習：逆像法 で扱っており、通過領域に関しては第３講で扱っています。 通過領域は、話題的に難易度は高いですが、難関大においては登場頻度は高く ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 縮小関数によって定まる漸化式によって定まる数列の極限を考える問題で、難関大を目指すにあたっては経験を積んでおきたい話題です。 本問は今回のテーマを学ぶにあたって、標準的な内容であり、今後このテーマの例題として様々な教材で扱われるでしょう。 キーワード ①：$f'$ の範囲 ( 最大・最小 ) ②：$f(x)=x$  (不動点の存在) ③：$a_{n+1}=f(a_{n})$ という漸化式 オチはあらかた決まっていて、③の漸化式と② ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） パラメータ表示された曲線による面積を考える問題です。 話題としては定番の話題であり、方針面で何をしてよいのかが分からないということがあってはなりません。 今回のパラメータ曲線を図示すると   という概形になります。 見づらくて申し訳ないですが、微妙に膨らんでおり、$x$ 軸に沿って積分していく場合、くり抜きの作業が発生します。 本問の山場は パラメータ表示された曲線の図示 くり抜き作業を伴う積分計算の工夫 ということになります。 ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） １次分数変換による点の軌跡を求める定番の話題です。 手元に $|z-\displaystyle \frac{3}{2}|=r$ という $z$ を縛っている式があります。 この状況で、$w$ を縛っている式を Get したいわけです。 $z$ ,  $w$ の関係式である $z+w=zw$ という式から $z=w の式$ という形にして、先ほどの \(|z-\displaystyle \frac{3}{2}|=r\ ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） $\cos{n\theta}$ が $\cos{\theta}$ の $n$ 次式で表せるという チェビシェフの多項式 という有名ネタをベースとした問題です。 阪大受験生であれば、この類の類題は経験したことがあるとは思います。 流れが独特なところもあるため、経験による部分が大きい問題ではあります。 特に最後のオチの (3) については、 整数係数方程式特有の話題 \(a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdot ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 線分の通過領域をテーマとする難関大では頻出の話題です。 本サイトでも、 などで扱っています。 この話題に対しては、順像法、逆像法、包絡線など、様々な解法があります。 特に逆像法については、考え方が独特であり、ある程度数をこなし慣れていないと中々自分のものにすることが難しいでしょう。 本サイトでは テーマ別演習：逆像法 で扱っており、通過領域に関しては第３講で扱っています。 通過領域は、話題的に難易度は高いですが、難関大においては登場頻度は高く ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 縮小関数によって定まる漸化式によって定まる数列の極限を考える問題で、難関大を目指すにあたっては経験を積んでおきたい話題です。 本問は今回のテーマを学ぶにあたって、標準的な内容であり、今後このテーマの例題として様々な教材で扱われるでしょう。 キーワード ①：$f'$ の範囲 ( 最大・最小 ) ②：$f(x)=x$  (不動点の存在) ③：$a_{n+1}=f(a_{n})$ という漸化式 オチはあらかた決まっていて、③の漸化式と② ...

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） パラメータ表示された曲線による面積を考える問題です。 話題としては定番の話題であり、方針面で何をしてよいのかが分からないということがあってはなりません。 今回のパラメータ曲線を図示すると   という概形になります。 見づらくて申し訳ないですが、微妙に膨らんでおり、$x$ 軸に沿って積分していく場合、くり抜きの作業が発生します。 本問の山場は パラメータ表示された曲線の図示 くり抜き作業を伴う積分計算の工夫 ということになります。 ...