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空間における立体の体積問題で、東大が好んで出題するテーマの一つです。
通過領域が絡んでいるという点でも東大らしく、「らしさ全開」と言ってよい問題でしょう。
回転後の立体 \(K\) を想像しようとしても難しいでしょう。
ひとまず回転前の状況で \(\mathrm{M}\) が動き得る範囲を捉え、その後その範囲を \(z\) 軸周りに回転させます。
回転前に限定しても動くものが \(\mathrm{P}\) , \(\mathrm{Q}\) , \(\mathrm{M}\) とありますから
ひとまず \(\mathrm{P}\) を固定し、\(\mathrm{Q}\) を動かす
という流れで考えると分かりやすいでしょう。
この考え方も東大が好む予選決勝法的な考え方であり、東大が好む十八番的話題が随所で見られます。
計算量自体はそこまで多くはなく、難易度は標準ですが、差がつくトピックスであるだけに合否を分ける一問になると思います。