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2022年度 九州大学 理系第5問【パラメータ表示された曲線】【ハイポサイクロイドの概形と面積】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

パラメータ表示された曲線に関する概形と面積について考える定番の話題です。

最終的にこの曲線 \(C\) の概形を図示することになりますが、それに向けてうまく工夫して考えるように誘導がついています。

誘導に乗れるかどうかということは、誘導のありがたみを感じることができるかどうかということです。

  • \(x\) 軸についての対称性
  • \(\displaystyle \frac{\pi}{3}\) ごとの回転対称性

という「対称性」を駆使し、省エネしながら考えなさいというメッセージをしっかりと受け止められるかどうかがカギとなります。

その対称性の証明である (3) が試験としては差がつく部分でしょう。

(1) ,  (2) でドロップアウトしてしまうのは、九州大受験生として寂しいものがあります。

ウンチク

本問で与えられている曲線は、半径6の円 \(C_{1}\) の内側を、半径1の円 \(C_{2}\) が滑らずに転がるときの、\(C_{2}\) 上の定点の軌跡である

ハイポサイクロイド

という有名曲線です。

ハイポサイクロイドについては

参考有名曲線【ハイポサイクロイド】【アステロイド】【2014年度 岐阜薬科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   【他の有名曲線を扱った問題はこちら】   さて、本問はサイクロイド3兄弟の一人、ハイポサイクロイドという有名曲線 ...

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などで取り扱っています。

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