2021年度　北海道大学理系第２問【放物線の２接線の交点と線分比】

2021年3月22日

放物線の２接線の交点が絡んだ定番の構図で、今年の旧帝大では名古屋大学もこの構図で出題していました。

大抵面積が絡んだ手垢のついたオチに帰着することが多い中、本問は線分比を計算させてます。

手垢が付きすぎているオチを嫌った（？）

解き始めて最初に思ったことは

「 $a+2$ のまま計算する必要性ってあるのか？」

ということです。

シンプルに $(b \ , \ \displaystyle \frac{b^{2}}{2})$ として計算していきたいなと思ったので、 $b=a+2$ ( $b \neq -1$ ) として話を進めていきました。

この構図において、２接線の交点の $x$ 座標は $\displaystyle \frac{b-1}{2}$ となることは勉強していれば身構えておくべき結果です。

最後の (2) については微分するもよし、工夫して相加平均 , 相乗平均で仕留めるもよし、という具合で、 $\displaystyle \frac{|AB|}{|BC|}$ さえ正しく計算できれば勢いで最後まで完答したいところです。

計算ミスが勝負を分ける部分であり、問題自体は標準の難易度です。