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放物線の２接線の交点が絡んだ定番の構図で、今年の旧帝大では名古屋大学もこの構図で出題していました。
大抵面積が絡んだ手垢のついたオチに帰着することが多い中、本問は線分比を計算させてます。
手垢が付きすぎているオチを嫌った（？）
解き始めて最初に思ったことは
「\(a+2\) のまま計算する必要性ってあるのか？」
ということです。
シンプルに \((b \ , \ \displaystyle \frac{b^{2}}{2})\) として計算していきたいなと思ったので、\(b=a+2\) ( \(b \neq -1\) ) として話を進めていきました。
この構図において、２接線の交点の \(x\) 座標は \(\displaystyle \frac{b-1}{2}\) となることは勉強していれば身構えておくべき結果です。
最後の (2) については微分するもよし、工夫して相加平均 , 相乗平均で仕留めるもよし、という具合で、\(\displaystyle \frac{|AB|}{|BC|}\) さえ正しく計算できれば勢いで最後まで完答したいところです。
計算ミスが勝負を分ける部分であり、問題自体は標準の難易度です。