問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)
放物線の2接線の交点が絡んだ定番の構図で、今年の旧帝大では名古屋大学もこの構図で出題していました。
大抵面積が絡んだ手垢のついたオチに帰着することが多い中、本問は線分比を計算させてます。
手垢が付きすぎているオチを嫌った(?)
解き始めて最初に思ったことは
「a+2 のまま計算する必要性ってあるのか?」
ということです。
シンプルに (b \ , \ \displaystyle \frac{b^{2}}{2}) として計算していきたいなと思ったので、b=a+2 ( b \neq -1 ) として話を進めていきました。
この構図において、2接線の交点の x 座標は \displaystyle \frac{b-1}{2} となることは勉強していれば身構えておくべき結果です。
最後の (2) については微分するもよし、工夫して相加平均 , 相乗平均で仕留めるもよし、という具合で、\displaystyle \frac{|AB|}{|BC|} さえ正しく計算できれば勢いで最後まで完答したいところです。
計算ミスが勝負を分ける部分であり、問題自体は標準の難易度です。