解答速報

2021年度 東北大学理系【総評と感想】

今年の東北大理系数学を解いての感想です。

難易度について

取り組みやすくなった昨年に比べ、今年も比較的取り組みやすいセットだったように思います。

昨年に比べて大きな難易度変化はないでしょう。

2021年度 東北大学理系 各解説記事

2021年度 東北大学理系第1問【2次方程式の解の配置問題】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 聞かれ方としては \(a\) ,  \(b\) を実数とする。 方程式 \(ax^{2}+bx+1=0\) が正の実数解をもたないような点 \(a \ , \ b\) の領域を図示せよ。 という聞かれ方の方が多いかもしれません。 俗にいう「解の配置問題」というやつで、2次方程式の場合 解の配置問題 軸 判別式 代入 (通称ジハダ) (これができなきゃハジダ) に目を向けて処理する定番の問題です。 「こうなっててくれ~」という願いを込めて図をか ...

続きを読む

2021年度 東北大学理系第2問【面積比】【2変数の扱い】【整数問題】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   三角形の面積比という話題から始まり、その面積比を与える2変数関数のとり得る値を考え、最後は整数問題に帰着させるという欲張りな問題構成になっています。 各分野に関する総合的な力が必要で、幾何の話題→関数の話題→整数の話題、と目線の移動も激しいです。 (1) を落とすと、それに連動して (2) ,  (3) も失ってしまう問題なので、(1) は慎重に確保したいところです。   のような角度 \(\theta\) を共有する ...

続きを読む

2021年度 東北大学理系第3問【正八角形の頂点でつくる三角形】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   正多角形の頂点を用いて三角形を作る定番の話題です。 話題自体は定番なのですが、色々なバリエーションがあるため、数えさせられるものも様々です。 (1) は直角三角形の個数で、定番中の定番です。 直径に対して残り1点を決めるという流れで求めればよく、これは落とせないでしょう。 (2) は直角三角形が (1) で求まっています。 そこで、 (直角三角形の個数)+(二等辺三角形の個数)ー(直角二等辺三角形の個数) によって、直角三角形ま ...

続きを読む

2021年度 東北大学理系第4問【3次関数と直線】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 流し読みして、問題をざっと見たとき、線分の通過領域というワードを見て少し身構えました。 直線の通過領域にしても差が付くテーマなのですが、線分の通過領域となると、範囲が制限されているので、さらに厄介になることが多いからです。 ただ、今回の問題については解き進めていくうちに、「目で追い切れる」ことが分かります。 (1) はオチの分かっている因数分解からの、解と係数の関係の利用 (2) は軌跡の基本 であり、確保したいところです。 (3) の通過領 ...

続きを読む

2021年度 東北大学理系第5問【複素数平面上の二等辺三角形についての考察】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   複素数平面に関する共線条件から始まり、二等辺三角形をなすための条件を求め、その二等辺三角形の面積が最大となるときをとらえるというオチです。 (1) は基本の話題なので、落としてはならないでしょう。 (2) も素直「OA=OB」または「AO=AB」または「BO=BA」であることを式的にとらえればよく、特に無理のないレベルでありこれも落としたくはありません。 (3) については頭では分かるかもしれませんが、それを説明する部分にもどか ...

続きを読む

2021年度 東北大学理系第6問【e^xのテイラー展開の剰余項】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   いいか悪いかはおいておき、有名ネタである \(e^{x}\) のテイラー展開による剰余項をもとにした問題で、類題もそれなりに多いため、まんまとは言わないまでも触れたことがあったという人もそれなりにいるかと思います。 (1) は数学的帰納法という路線には乗りたいところで、帰納法で進めるにあたり漸化式を作成しておくことが必要です。 積分漸化式については 積分漸化式作成の常套手段 部分積分で作成 というセオリーに従います。 (2) に ...

続きを読む

第1問

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

基本的な解の配置問題であり、落ち着いて確保したいところです。

難易度はやや易で、今年のセットでは落とせない一問です。

第2問

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

ざっと見て、(1) を落とすとその後の設問も連動して落とすことになり、(1) を確実にクリアーしないと大けがになりかねません。

三角形の面積比という話題から始まり、その面積比を与える2変数関数のとり得る値を考え、最後は整数問題に帰着させるという欲張りな問題構成になっています。

初等幾何的に考えることもでき、複数解法が考えられますが、出来る限りミスの少ない方針を選択したいところです。

難易度は標準だと思います。

第3問

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

正多角形の頂点を用いて三角形を作る定番の話題です。

個人的には今回のような正多角形の頂点を結んで色々三角形を作る問題は、目新しい問いかけが含まれることも多く、「大丈夫だよな」と心配になりやすいテーマです。

「直径という「線分」を固定し、残りを考える」という方針や「頂点を固定し、残りを考える」といったように自分が数えたいものによって、とるべき態度を臨機応変に変えるなどの柔軟性も求められると思います。

加えて本問の場合、(*) で言われていることを、もっと噛み砕いて結局何が起こればよいかを整理する力も求められると思います。

難易度は標準だと思いますが、分野やトピックス的に差が付きやすい要素もあり、試験場補正もかかりやすいかもしれません。

第4問

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

問題をざっと見たとき、線分の通過領域というワードを見て少し身構えました。

(1) ,  (2) までは基本的な問題なので、丁寧に進めて確保したいところです。

ただ、ここまで解き進めることができれば、(3) で考えるべき線分 \(PS\) の通過領域は直接目で追えるなと分かります。

肝心の通過領域さえ get できれば、あとは積分計算するのみです。

工夫の余地もありますが、その工夫に説明をつけようと思うとエネルギーが必要ですし、それをするエネルギーがあればゴリゴリ進めた方が早いと思います。

難易度は標準だと思いますが、グラフの位置関係などを把握するのに時間がかかるかもしれません。

第5問

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

(2) までは確保したいレベルかなと思います。

問題の状況を素直に翻訳すれば手なりに進んでいくでしょう。

(3) は問題自体の難しさというよりも、どうやって説明するかという部分でもどかしさを感じた人も少なくないと思います。

問題の難易度自体は標準ですが、(3) の記述のしにくさから自分の手ごたえと実際の採点基準にギャップがあるかもしれません。

 

第6問

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

有名ネタである \(e^{x}\) のテイラー展開による剰余項をもとにした問題で、類題もそれなりに多いため、まんまとは言わないまでも触れたことがあったという人もそれなりにいるかと思います。

丁寧な誘導がついていますから、それを利用してやろうという気持ちで解き進めていけば、普通に完答も狙えます。

大抵 『 \(I_{n}=\int_{0}^{a} \displaystyle \frac{(a-x)^{n} e^{x}}{n!} dx\) とおく。』

などと積分漸化式を匂わせる形での出題なので、本問はそのあたりを自分で考える必要があり、少しだけエネルギーが必要です。

とは言え、今回の話題である「定積分の不等式評価」というトピックスは、苦手意識を持っている人が多く、準備や演習量が不十分なまま試験当日を迎えてしまったという現役生も多い話題です。

しっかりと準備をしたという前提では、難易度は標準でしょう。

 

総括

東北大学は、教材に使いたくなるような良問が多く、今年もいい問題が沢山ありました。

ただ、どちらかと言えば、典型的な話題も多く、「何これ」というような、解いていて目を引く問題はなかったかなと思いました。

このぐらいの難易度のセットでも十分試験として機能すると思います。

難易度自体は標準的でも、何かしらひと悶着ありそうな問題が多かったのも今年の特徴でしょう。

準備が十分間に合っていないと、右往左往しかねない第6問や、計算量が多い第4問あたりを確保していると心強いと思います。

2021年度 東北大学理系 各解説記事

2021年度 東北大学理系第1問【2次方程式の解の配置問題】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 聞かれ方としては \(a\) ,  \(b\) を実数とする。 方程式 \(ax^{2}+bx+1=0\) が正の実数解をもたないような点 \(a \ , \ b\) の領域を図示せよ。 という聞かれ方の方が多いかもしれません。 俗にいう「解の配置問題」というやつで、2次方程式の場合 解の配置問題 軸 判別式 代入 (通称ジハダ) (これができなきゃハジダ) に目を向けて処理する定番の問題です。 「こうなっててくれ~」という願いを込めて図をか ...

続きを読む

2021年度 東北大学理系第2問【面積比】【2変数の扱い】【整数問題】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   三角形の面積比という話題から始まり、その面積比を与える2変数関数のとり得る値を考え、最後は整数問題に帰着させるという欲張りな問題構成になっています。 各分野に関する総合的な力が必要で、幾何の話題→関数の話題→整数の話題、と目線の移動も激しいです。 (1) を落とすと、それに連動して (2) ,  (3) も失ってしまう問題なので、(1) は慎重に確保したいところです。   のような角度 \(\theta\) を共有する ...

続きを読む

2021年度 東北大学理系第3問【正八角形の頂点でつくる三角形】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   正多角形の頂点を用いて三角形を作る定番の話題です。 話題自体は定番なのですが、色々なバリエーションがあるため、数えさせられるものも様々です。 (1) は直角三角形の個数で、定番中の定番です。 直径に対して残り1点を決めるという流れで求めればよく、これは落とせないでしょう。 (2) は直角三角形が (1) で求まっています。 そこで、 (直角三角形の個数)+(二等辺三角形の個数)ー(直角二等辺三角形の個数) によって、直角三角形ま ...

続きを読む

2021年度 東北大学理系第4問【3次関数と直線】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 流し読みして、問題をざっと見たとき、線分の通過領域というワードを見て少し身構えました。 直線の通過領域にしても差が付くテーマなのですが、線分の通過領域となると、範囲が制限されているので、さらに厄介になることが多いからです。 ただ、今回の問題については解き進めていくうちに、「目で追い切れる」ことが分かります。 (1) はオチの分かっている因数分解からの、解と係数の関係の利用 (2) は軌跡の基本 であり、確保したいところです。 (3) の通過領 ...

続きを読む

2021年度 東北大学理系第5問【複素数平面上の二等辺三角形についての考察】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   複素数平面に関する共線条件から始まり、二等辺三角形をなすための条件を求め、その二等辺三角形の面積が最大となるときをとらえるというオチです。 (1) は基本の話題なので、落としてはならないでしょう。 (2) も素直「OA=OB」または「AO=AB」または「BO=BA」であることを式的にとらえればよく、特に無理のないレベルでありこれも落としたくはありません。 (3) については頭では分かるかもしれませんが、それを説明する部分にもどか ...

続きを読む

2021年度 東北大学理系第6問【e^xのテイラー展開の剰余項】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   いいか悪いかはおいておき、有名ネタである \(e^{x}\) のテイラー展開による剰余項をもとにした問題で、類題もそれなりに多いため、まんまとは言わないまでも触れたことがあったという人もそれなりにいるかと思います。 (1) は数学的帰納法という路線には乗りたいところで、帰納法で進めるにあたり漸化式を作成しておくことが必要です。 積分漸化式については 積分漸化式作成の常套手段 部分積分で作成 というセオリーに従います。 (2) に ...

続きを読む

個別の解説記事も見ていただけると励みになります。

-解答速報

© 2022 MathClinic