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2021年度 九州大学理系第4問【『平均値の性質』と複素数平面における存在命題の論証】

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平均値の定理

\(a\) ,  \(b\)  を \(a \lt b\) を満たす実数として、\(a \leq x \leq b\) で \(f(x)\) が微分可能としたとき

\(\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\) を満たす \(c\) が \(a \lt c \lt b\) に存在する

という平均値の定理の形を彷彿とさせます。

定義域が複素数であると複素関数になってしまい、高校範囲を超えてしまいます。

定義域が複素数であっても高校範囲で扱えるのは多項式ですから、\(f(x)\) を多項式に限定したうえで、上の平均値の定理が主張しているようなことが複素数においても言えるでしょうか、という問いかけです。

結局「平均値の性質をもつ」ということがどういうことかというと

うまく \(\gamma\) をもってくれば

\(\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\)

となるようにできる

ということです。

そう考えると

(1) はどんな \(\alpha\) ,  \(\beta\) ,  2次式 \(f(x)\) に対しても、うまく \(\gamma\) をもってこれるよ

(2) は条件次第では、うまく \(\gamma\) をもってこれるんだけど、どんな条件だったらいい?

(3) はこの \(\alpha\) ,  \(\beta\) ,   \(f(x)\) だと、そんなうまい \(\gamma\) はもってこれないよ

という主張について考えることになります。

聞きなれない言葉に惑わされることなく、やるべきことを見失わないようにしたいですね。

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