実践演習 幾何・ベクトル系

1,z,z^2を3頂点にもつ鋭角三角形【2016年度 東京大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

複素数平面において

\(1\) , \(z\) , \(z^{2}\)

あるいは

\(z\) , \(z^{2}\) , \(z^{3}\)

といった、公比が \(z\) の等比数列をなるような値を頂点にもつ三角形についての考察をする問題です。

類題も様々な大学で出題されています。

正三角形や二等辺三角形など名前がついている特徴的な三角形となるケースを考えさせる出題が多く、図形的特徴を複素数平面上で立式する力が問われます。

例題は、鋭角三角形となる条件を考える問題です。

(以下ネタバレ注意)

 

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複素数平面における角度の扱い

3点 \(A(\alpha)\) , \(B(\beta)\) , \(C(\gamma)\) に対して、\(\angle{BAC}\) を考えたいときどうするかですが、

\(\overrightarrow{ AB }\) を \(\theta\) 回転し、\(r\) 倍拡大(縮小)して \(\overrightarrow{ AC }\) になったと考えます。

これは複素数平面においては

\(\gamma-\alpha=(\beta-\alpha)r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\)

と立式できます。

誤解を恐れずに言えば、\(\overrightarrow{ AB }\) に回転パーツを作用させたら\(\overrightarrow{ AC }\)になったと考えてください。

この角度は偏角(符号付き角度)ですから、反時計回りの向きを正の向きとした角度です。

そのあたりは注意する必要がありますが、\(\angle{BAC}\) を考えたければ

\(\displaystyle \frac {\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\)

を計算し、極形式で表したときの偏角を捉えればよいということになります。

この路線で、各角度が鋭角であるという翻訳をした路線が【戦略1】【解1】の路線です。

余弦定理を利用する路線

余弦定理から

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\cos{A}=\displaystyle \frac{CA^{2}+AB^{2}-BC^{2}}{2 \cdot AB \cdot CA} \\
\cos{B}=\displaystyle \frac{AB^{2}+BC^{2}-CA^{2}}{2 \cdot AB \cdot BC} \\
\cos{C}=\displaystyle \frac{BC^{2}+CA^{2}-AB^{2}}{2 \cdot BC \cdot CA}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

ですから、\(\angle{A}\) , \(\angle{B}\) , \(\angle{C}\) が鋭角であるということは

\(cos{A} \gt 0\) , \(\cos{B} \gt 0\) , \(\cos{C} \gt 0\)

ということになり、

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
AB^{2}+BC^{2} \gt CA^{2} \\
BC^{2}+CA^{2} \gt AB^{2} \\
CA^{2}+AB^{2} \gt BC^{2}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

というように翻訳できます。

長さについては絶対値で処理できますから、今回の \(A(1)\) , \(B(z)\) , \(C(z^{2})\) であれば

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
|z-1|^{2}+|z^{2}-z| \gt |1-z^{2}| \\
|z^{2}-z|+|1-z^{2}| \gt |z-1|^{2} \\
|1-z^{2}|+|z-1|^{2} \gt |z^{2}-z|
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

と立式していくことになります。

この路線については【戦略2】【解2】で扱っています。

相似をうまく利用する

\(A(\alpha)\) , \(B(\beta)\) , \(C(\gamma)\) , \(A'(\alpha')\) , \(B'(\beta')\) , \(C'(\gamma')\) としたとき、

\(\displaystyle \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\displaystyle \frac{\gamma'-\alpha'}{\beta'-\alpha'}\)

が成り立っているならば、

\(\triangle{ABC} \sim \triangle{A'B'C'}\)

が言えます。

これについては

\(\displaystyle \frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\displaystyle \frac{\gamma'-\alpha'}{\beta'-\alpha'}=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\) としたとき、

  • \(AB : AC=A'B' : A'C'=1:r\)
  • \(\angle{BAC}=\angle{B'A'C'}=\theta\)

なので、2辺の比率とその間の角が等しいということで相似であることが言えるためです。

この考え方をうまく活用した路線は【戦略3】【解3】で触れています。

類題

類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

類題は

\(z\) , \(z^{2}\) , \(z^{3}\)

を3頂点にもつ三角形を考え、オチは直角二等辺三角形となるように仕組みます。

複素数平面における基本事項の運用の確認として適度な難易度です。

例題の解答はコチラ

類題の解答はコチラ

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