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18°絡みの三角比 テーマ別演習

18°絡みの三角比　第３講【チェビシェフの多項式の利用】【2012年度 早稲田大学ほか】

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。

代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。

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18°絡みの三角比　第１講【黄金三角形の黄金分割】【2009年度 大阪教育大学】

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18°絡みの三角比　第２講【正五角形の利用】【1997年度 岐阜大学】

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18°絡みの三角比　第３講【チェビシェフの多項式の利用】【2012年度 早稲田大学ほか】

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。 代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。 このシリーズの一覧はこちら   第３講は チェビシェフの多項式の利用 という話題です。   通常の流れ 通常の例題 \theta が 0 \leq \theta \leq \pi を満たしているとき \(2\cos^{2}{\theta}+\c ...

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第３講は

チェビシェフの多項式の利用

という話題です。

 

通常の流れ

通常の例題

\theta が 0 \leq \theta \leq \pi を満たしているとき

2\cos^{2}{\theta}+\cos{\theta}-1=0

を満たす \theta を求めよ。

という問題であれば、

(2\cos{\theta}-1)(\cos{\theta}+1)=0

から \cos{\theta}=\displaystyle \frac{1}{2} ,  -1  を得て、0 \leq \theta \leq \pi の範囲であれば、\theta=\displaystyle \frac{\pi}{3} ,  \pi と得ます。

つまり、\cos{\theta} の値を経由して \theta の値を求めるという流れです。

 

本問の流れ

 

3\theta=2\theta+2n\pi  または  3\theta=-2\theta+2n\pi

と、\cos{ \ } の値が等しいということを翻訳し、

\theta=2n\pi または \theta=\displaystyle \frac{2n\pi}{5}

を得ます。

0 \leq \theta \leq \pi の範囲であれば、

\theta=0 ,  \displaystyle \frac{2\pi}{5} ,  \displaystyle \frac{4\pi}{5}

とまず一旦 \theta が得られます。

一方でこの \theta は２倍角、３倍角の公式から

2\cos^{2}{\theta}-1=4\cos^{3}{\theta}-3\cos{\theta}

すなわち

4\cos^{3}{\theta}-2\cos^{2}{\theta}-3\cos{\theta}+1=0

を満たすような \theta ですから、この \cos{\theta} に関する３次方程式を因数分解し

(\cos{\theta}-1)(4\cos^{2}{\theta}+2\cos{\theta}-1)=0

て解くことで

\cos{\theta}=1 ,  \displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{4} ,  \displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{4}

と紐づくことになります。

要するに本問は、\theta の値が先に求まってから、その \theta に対する \cos{ \ } が求まるという流れです。

このあたりは「三角関数に関する方程式」という分野別の学習の観点から見ても教訓を含んでいます。

 

チェビシェフの多項式について

一般に

\cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta}) を満たす多項式 T_{n}(x)

のことを（第１種）チェビシェフの多項式といいます。

例をあげると

\cos{1\theta}=\cos{\theta}  より、T_{1}(x)=x

\cos{2\theta}=2\cos^{2}\theta-1  より、T_{2}(x)=2x^2-1

\cos{3\theta}=4\cos^{3}\theta-3\cos{\theta}  より、T_{3}(x)=4x^3-3x

などのようになります。

本問は、T_{2}(x)=T_{3}(x) という方程式を誘導とする問題です。

チェビシェフの多項式そのものについて、深く学習したい場合は

テーマ別演習：チェビシェフの多項式

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をどうぞ。

 

第２種チェビシェフの多項式を誘導とした参考類題について

 

問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）

\displaystyle \frac{\sin{n\theta}}{\sin{\theta}}=U_{n-1}(\cos{\theta}) という n-1 次式 U_{n}(x) が存在する

この U_{n}(x) は第２種チェビシェフの多項式と呼ばれます。

これを誘導とした参考類題も準備しましたので、併せて活用してください。

解答はコチラ

参考類題の解答はコチラ

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