18°絡みの三角比 テーマ別演習

18°絡みの三角比 第3講【チェビシェフの多項式の利用】【2012年度 早稲田大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。

代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。

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18°絡みの三角比 第1講【黄金三角形の黄金分割】【2009年度 大阪教育大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。 代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。 このシリーズの一覧はこちら 第1講は 黄金三角形の黄金分割 という話題です。 黄金比について 長方形 A から正方形を切り取って 残った長方形を B とします。 A と B が相似であるとき、長方形 A を黄金長方形といい、その縦横比を \(1 : x\) とすると、 \(1 : ...

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18°絡みの三角比 第2講【正五角形の利用】【1997年度 岐阜大学】

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18°絡みの三角比 第3講【チェビシェフの多項式の利用】【2012年度 早稲田大学ほか】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。 代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。 このシリーズの一覧はこちら   第3講は チェビシェフの多項式の利用 という話題です。   通常の流れ 通常の例題 \(\theta\) が \(0 \leq \theta \leq \pi\) を満たしているとき \(2\cos^{2}{\theta}+\c ...

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18°絡みの三角比 第4講【1の5乗根の利用】【1997年度 金沢大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 18°絡みの三角比という話題で、様々な切り口からこのテーマが扱われます。 代表的な登場シーンを一通り経験することで、ストーリーを体感し、対応できるようにしましょう。 このシリーズの一覧はこちら   第4講は 1の5乗根の利用 という話題です。 複素数平面と三角関数の強力なコラボレーションが心地よく感じると思います。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 最終的なオチ 三角関数を扱ううえで、複素数平 ...

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第3講は

チェビシェフの多項式の利用

という話題です。

 

通常の流れ

通常の例題

\(\theta\) が \(0 \leq \theta \leq \pi\) を満たしているとき

\(2\cos^{2}{\theta}+\cos{\theta}-1=0\)

を満たす \(\theta\) を求めよ。

という問題であれば、

\((2\cos{\theta}-1)(\cos{\theta}+1)=0\)

から \(\cos{\theta}=\displaystyle \frac{1}{2}\) ,  \(-1\)  を得て、\(0 \leq \theta \leq \pi\) の範囲であれば、\(\theta=\displaystyle \frac{\pi}{3}\) ,  \(\pi\) と得ます。

つまり、\(\cos{\theta}\) の値を経由して \(\theta\) の値を求めるという流れです。

 

本問の流れ

 

\(3\theta=2\theta+2n\pi\)  または  \(3\theta=-2\theta+2n\pi\)

と、\(\cos{ \ }\) の値が等しいということを翻訳し、

\(\theta=2n\pi\) または \(\theta=\displaystyle \frac{2n\pi}{5}\)

を得ます。

\(0 \leq \theta \leq \pi\) の範囲であれば、

\(\theta=0\) ,  \(\displaystyle \frac{2\pi}{5}\) ,  \(\displaystyle \frac{4\pi}{5}\)

とまず一旦 \(\theta\) が得られます。

一方でこの \(\theta\) は2倍角、3倍角の公式から

\(2\cos^{2}{\theta}-1=4\cos^{3}{\theta}-3\cos{\theta}\)

すなわち

\(4\cos^{3}{\theta}-2\cos^{2}{\theta}-3\cos{\theta}+1=0\)

を満たすような \(\theta\) ですから、この \(\cos{\theta}\) に関する3次方程式を因数分解し

\((\cos{\theta}-1)(4\cos^{2}{\theta}+2\cos{\theta}-1)=0\)

て解くことで

\(\cos{\theta}=1\) ,  \(\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{4}\) ,  \(\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{4}\)

と紐づくことになります。

要するに本問は、\(\theta\) の値が先に求まってから、その \(\theta\) に対する \(\cos{ \ }\) が求まるという流れです。

このあたりは「三角関数に関する方程式」という分野別の学習の観点から見ても教訓を含んでいます。

 

チェビシェフの多項式について

一般に

\(\cos{n\theta}=T_{n}(\cos{\theta})\) を満たす多項式 \(T_{n}(x)\)

のことを(第1種)チェビシェフの多項式といいます。

例をあげると

\(\cos{1\theta}=\cos{\theta}\)  より、\(T_{1}(x)=x\)

\(\cos{2\theta}=2\cos^{2}\theta-1\)  より、\(T_{2}(x)=2x^2-1\)

\(\cos{3\theta}=4\cos^{3}\theta-3\cos{\theta}\)  より、\(T_{3}(x)=4x^3-3x\)

などのようになります。

本問は、\(T_{2}(x)=T_{3}(x)\) という方程式を誘導とする問題です。

チェビシェフの多項式そのものについて、深く学習したい場合は

テーマ別演習:チェビシェフの多項式

チェビシェフの多項式 第1講【第1種チェビシェフ多項式】【2008年度 東京慈恵会医科大学】

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チェビシェフの多項式 第2講【チェビシェフの多項式が満たす漸化式】【2015年度 千葉大学】

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チェビシェフの多項式 第3講【第2種チェビシェフの多項式】【1996年度 京都大学】

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チェビシェフの多項式 第4講【チェビシェフの多項式のグラフの特徴】【1997年度 京都大学】

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チェビシェフの多項式 第5講【変形チェビシェフの多項式】【2004年度 名古屋大学】

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チェビシェフの多項式 第6講【変形チェビシェフの多項式のグラフ】【2004年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   チェビシェフの多項式と呼ばれる有名テーマを扱った問題で、大学入試においても様々な角度から切り込まれています。 初見だと厳しい内容もありますので、代表的な問題を今回シリーズものとして扱うことにしました。 今回は第6弾です。 このシリーズのまとめはこちら     背景的知識を抜きにしても本問を解くことはできますので、まずは正攻法で挑んでほしいと思います。   (以下ネタバレ注意)   + クリ ...

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チェビシェフの多項式 第7講【ミニマックス原理との関連】【1977年度岐阜大学】

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をどうぞ。

 

第2種チェビシェフの多項式を誘導とした参考類題について

 

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

\(\displaystyle \frac{\sin{n\theta}}{\sin{\theta}}=U_{n-1}(\cos{\theta})\) という \(n-1\) 次式 \(U_{n}(x)\) が存在する

この \(U_{n}(x)\) は第2種チェビシェフの多項式と呼ばれます。

これを誘導とした参考類題も準備しましたので、併せて活用してください。

解答はコチラ

参考類題の解答はコチラ

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