(1) について
(2 \ , \ 0) , (1 \ , \ -2) , (-1 \ , \ 6) を通る2次関数を求めればよいので、正直煮るなり焼くなり刺身にするなりどうとでもなります。
y=ax^{2}+bx+c とおく方針は皆様に任せます。
ここでは x 切片を活かし、
y=a(x-2)(x-\beta)
とおく方針で行きます。
もちろん、条件から
a\neq 0 , \beta \neq 2
です。
(2) について
条件 (ii) がクセモノだと思います。
試しに

と通過点候補をプロットしてみても、何かどれもあり得そうです。
まともに考えると {}_4 \mathrm{ C }_2=6 通りあり、流石に連立方程式を 6 回処理するのは鬱陶しいでしょう。
何とかして候補を削っていきたいわけです。
そうなると、
この点は通らないじゃん
という形で候補を削っていくことになるでしょう。
趣旨としてはそこにあり、通過点ではなく、非通過点に注目するわけです。
ひとまず、条件 (i) を満たすようなグラフを考えてみます。
a \gt 0 のとき
y=f(x) のグラフは下に凸の放物線です。
条件 (i) を満たすようなグラフを考えてみると

という感じでしょう。
4つの通過点候補のうち明らかに
(9 \ , \ -2) , (4 \ , \ -1)
は削れますね。
a \lt 0 のとき
今度は y=f(x) のグラフは上に凸の放物線となります。
条件 (i) を満たすグラフを考えてみると

のような図がかけるでしょう。
候補を削るために、先ほどよりもほんの少しだけ論証が必要です。
このあたりをうまくまとめられるかもポイントになってきます。
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