問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。
「手垢の付いていない問題で最後の力試しがしたい」
という方はぜひご活用ください。
今回は分数関数を題材にした有名性質をネタにしました。
y=\displaystyle \frac{2x}{x^{2}+1} は
\displaystyle \int_{ \ }^{ \ } \displaystyle \frac{2x}{x^{2}+1} dx=\log{|x^{2}+1|}+C
と、 \displaystyle \int_{ \ }^{ \ } \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)} dx 型の積分としては手ごろです。
なので有理関数で面積計算を問いたい場合、重宝しそうです。
しかし、この y=\displaystyle \frac{2x}{x^{2}+1} はそれだけではなく、本問で問いにしたような、難関大志望者のようなある程度のレベルの人の「マジっすか」感を刺激する性質をもっています。
ただ、その知識で差が付くわけではないので、基本的な微積分の力を確認するための問題として、出題枠の中の一題の中に組み込まれてもおかしくはないでしょう。
（以下ネタバレ注意）
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(1) は基本的な計算なので、実際の試験場においては確実に確保したいところです。
計算ミスに気を付けるとともに、奇関数であることを見落とさずに労力を半減させたいところです。
(2) については y=\displaystyle \frac{2x}{x^{2}+1} と y=c を連立して整理した
cx^{2}-2x+c=0
という 2 次方程式の異なる 2 つの実数解 \alpha , \beta について、
(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2} , \ c) が y=\displaystyle \frac{1}{x} 上であること、すなわち
c=\displaystyle \frac{2}{\alpha+\beta}
であることを解と係数の関係を用いて目指せばよいでしょう。
(3) については面積の等分問題でよく使う考え方で
面積等分問題の立式
全体を絡めて立式する
ということを意識すればよいでしょう。
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でも違う関数を相手に扱っていますので、適宜ご活用ください。