問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
桁数、最高位の数字、１の位など、このあたりは定番の話題ですが、本問はそれに加えて
最高位の次の数字
を聞いています。
一見面食らうかもしれませんが、基本をキッチリとおさえていれば対応できる範疇です。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む 自然数の累乗の 1 の位 ( 10 で割った余り ) については周期性をもちます。 詳しくは以下の記事で取り扱っています。 問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） シンプルな整数問題で、教訓を多く含む問題です。 場当たり的に解き進めても、腕力がある人はねじ伏せることができるでしょうが、できれば戦略的 ... 続きを見る 今回の \(3^{n}\) についての \(1\) の位は \(3\) , \(9\) , \(7\) , \(1\) の繰り返しです。 この辺りをどこまで自明のものとして記述するかは問題ですが、 \(3^{n+4}-3^{n}=3^{n}(3^{4}-1)=80\cdot 3^{n}\) ですから、\(3^{n+4} \equiv 3^{n} \pmod{10}\) となり、周期性をもつことがすぐに言えるので、心配であればチャチャっと証明してしまいましょう。 今回 \(3^{20}\) と \(7^{70}\) とターゲットが違うので、まとめて解説するために \(3^{2021}\) の桁数を求めよ。 という問題にします。 これについては、色々な書き方がありますが、 \(\log_{10}3^{2021}\) \(=2021\times\log_{10}3\) \(=2021\times0.4771\) \(=964.2191\) としたあとに \(3^{2021}=10^{964.2191}\) と見るのが後のことを考えるといいかなと思います。 ポイント
\(a^{m}\) を \(10^{t}\) の形に直す まず桁数ですが、\(3^{2021}=10^{964.2191}\) と直しているおかげで \(10^{964} \lt 3^{2021} \lt 10^{965}\) とすぐに挟めるため、965桁と即座に分かります。 また、桁数だけで終わることはあまりなく、セットで \(3^{2021}\) について次の問いに答えよ。 と、最高位の数を求める問題もあることが多いでしょう。 これについても、\(3^{2021}=10^{964.2191}\) と直しているおかげで \(10^{0.2191}\times10^{964}\) と分けて見るのが分かりやすいでしょう。 \(10^{0.2191}=☆.****\) であれば、\(10^{964}\) というのは「小数点を右に964回動かす」だけですから最高位の数は☆と分かるわけです。 \(10^{0} \lt 10^{0.2191} \lt 10^{0.3010}\) ですから、\(1 \lt 10^{0.2191} \lt 2\) より、\(10^{0.2191}=1.****\) となりますから、\(3^{2021}\) の最高位の数は \(1\) であることが分かります。 本問においても、同様に と、\(10\) の何とか乗と言う形にしていきます。 詳しい計算については、【解答】のなかでやっていますが \(3^{n}=10^{0.4771n}\) \(7^{70}=10^{59.157}\) となります。 \(10^{20} \leq 10^{0.4771n} \lt 10^{21}\) とはさむことで、 \(20 \leq 0.4771n \lt 21\) すなわち \(\displaystyle \frac{20}{0.4771} \leq n \lt \displaystyle \frac{21}{0.4771}\) を得ます。 ここの算数は億劫ですが、頑張って計算すれば、これを満たす \(n\) は \(n=42 \ , \ 43 \ , \ 44\) と分かります。 あとは(1) の 1 の位の周期性から、1 の位が 7 となるのは \(3^{4M+3}\) の形であることを考えると \(n=43\) と特定されます。 基本に従って \(7^{70}=10^{0.157} \cdot 10^{59}\) と小数部分と整数部分に分けます。 \(10^{0.157}=☆. ****\cdots\) ということが分かれば、\(10^{59}\) は小数点を動かすだけで、最高位の数字☆に対して悪さをしませんから、最高位の数が☆であることが分かります。 ※この小数点を動かすというのはあくまでイメージであり、【解答】ではしっかりと不等式を用いて記述します。 本問のオチはこの上二桁の値を出すことです。 (3) において \(10^{0.157}=☆. ★***\cdots\) と考えたわけですが、「☆の次の小数第１位 (★)」が欲しいわけです。 そう考えると、これを \(10\) 倍した \(10^{1.157}=☆★.***\cdots\) というように、\(10^{1.157}\) に目が向きます。 つまり、 \(7^{70}=10^{1.157} \cdot 10^{58}\) と見たくなるわけです。 ここから先は与えられた近似値をうまく使いながら、\(10^{1.157}\) がどのぐらいの数なのかアタリをつけて考えていきます。 問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 桁数に関する問題です。まずは教科書レベルの基本的な桁数問題を通じて、常用対数の運用の仕方をきちんと学習する必要があります。 ... 続きを見る 問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） シンプルな整数問題で、教訓を多く含む問題です。 場当たり的に解き進めても、腕力がある人はねじ伏せることができるでしょうが、できれば戦略的 ... 続きを見る 問題１はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 問題２はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。） 下二桁の数についてスポットを当てた問題を東大、京大から２題セレクトし ... 続きを見る なども併せて解いてみると力になると思います。1 の位について
参考自然数の累乗の余り【累乗の余りの周期性】【1999年度 お茶の水女子大学】
桁数と最高位の数について
ただし、\(\log_{10} 3=0.4771\) とする。
(1) \(3^{2021}\) の桁数を求めよ。
(2) \(3^{2021}\) の最高位の数を求めよ。
ただし、\(\log_{10}2=0.3010\) , \(\log_{10}3=0.4771\) とする。
(2) について
(3) について
上二桁について
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対比下二桁の扱い【４乗数に関わる下二桁】【完全剰余系】【2007年度 東京大学ほか】