例題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
なめてかかると火傷するタイプの問題です。
「判別式とるだけだろ？なめんなよ」
と威勢よく取り組みだすと、だんだん青ざめていく人が増えていくと思います。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む \(y=bx^{2}+(b+c-a)x+c\) という下に凸の放物線が \(x\) 軸と交点をもたなければ、全ての実数 \(x\) で \(bx^{2}+(b+c-a)x+c \gt 0\) ということが言えます。 なのでもちろん、最初の一手は \(bx^{2}+(b+c-a)x+c=0\) の判別式を \(D\) として \(D \lt 0\) を目指すという方針です。 \(D=(b+c-a)^{2}-4bc\) ですから、整理すると \(D=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2bc-2ca\) となります。 このあたりから、血の気が引いていくでしょう。 手が止まるのは当然で、 という条件を使っていません。 つまり、 $$\begin{eqnarray} という条件をどこかで使う必要が出てくるわけです。 それを念頭に置けば \(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2bc-2ca\) \(=2 (a^{2}+b^{2}+c^{2})-2ab-2bc-2ca-(a^{2}+b^{2}+c^{2})\) \(=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})\) \(=\{(a-b)^{2}-c^{2}\}+\{(b-c)^{2}-a^{2}\}+\{(c-a)^{2}-b^{2}\}\) \(=(a-b+c)(a-b-c)+(b-c+a)(b-c-a)+(c-a+b)(c-a-b)\) という式変形に辿り着きます。 とは言え、これは有名恒等式 有名恒等式
\(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=\displaystyle \frac{1}{2}\{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\}\) が自分のものになっていないとツライと思います。 例題で終わっては面白さ半減です。 次の追加問題もセットで考えると面白いです。 追加問題は先ほどの例題の \(a\) , \(b\) , \(c\) を \(a^{2}\) , \(b^{2}\) , \(c^{2}\) に変えただけです。 「さっきと同じだろ、なめんなよこの野郎」 と意気揚々と先ほどの例題の解答をなぞると \(D=(a^{2}-b^{2}+c^{2})(a^{2}-b^{2}-c^{2})+(b^{2}-c^{2}+a^{2})(b^{2}-c^{2}-a^{2})+(c^{2}-a^{2}+b^{2})(c^{2}-a^{2}-b^{2})\) として、 「あれ？鋭角三角形だったらいいんだけど \(\cdots\)」 と、鉛筆を噛み始めることになります。最初の一手はもちろん判別式
上手くいかないのは当然
\left\{
\begin{array}{l}
a+b \gt c \\
b+c \gt a\\
c+a \gt b
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$追加問題について
追加問題はこちら（画像をクリックするとPDFファイルで開きます。）
