実践演習 方程式・不等式・関数系

3変数対称式の最大値【1996年度 大分医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

3変数の対称式に関する最大問題で、難問と言ってよいと思います。

今回の3変数は独立3変数なので、例えば、\(y\) と \(z\) を固定し、ひとまず \(x\) の関数として捉える、といったような

予選決勝法

を睨むのが第1感ですが、まともにぶつかると結構厳しいものがあると思います。

そこをどう乗り越えていくかが本問の山場です。

(以下ネタバレ注意)

+ クリック(タップ)して続きを読む

与式を大きくしようという気持ち

与式である

\(\displaystyle \frac{x+y+z}{3}+\sqrt{x+y+z-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}\)

を大きくしよう大きくしようという気持ちがあれば、

ポイント

コーシーシュワルツの不等式

から得られる

  • \(x+y+z \leq \sqrt{3} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\)

を用いると

\((与式) \leq \displaystyle \frac{x+y+z}{3}+\sqrt{x+y+z-\displaystyle \frac{(x+y+z)^{2}}{3}}\)

となります。

等号成立は、コーシー・シュワルツの不等式の等号成立条件を考えると

  • \(x=y=z\) のとき

であることが分かります。

これが意味することは

  • 与式を大きくするには、\(x=y=z\) とするのが最善である

ということです。

これは言わば、

予選決勝法における予選が終わり、決勝進出者が

\(\displaystyle \frac{x+y+z}{3}+\sqrt{x+y+z-\displaystyle \frac{(x+y+z)^{2}}{3}}\)

であるということを意味します。

決勝戦

与式を大きくしようとするには

  • \(x=y=z\)とするのが最善

ということが分かりましたから、決勝戦では

  • \(x=y=z=1\) ,  \(x=y=z=2\) ,  \(\cdots\)

というように

\(x=y=z=t\) とおき、\(t\) を動かしていく中で決勝進出者

\(\displaystyle \frac{x+y+z}{3}+\sqrt{x+y+z-\displaystyle \frac{(x+y+z)^{2}}{3}}\)

すなわち

\(t+\sqrt{3t-3t^{2}}\)

の最大値を考えていくことになります。

ここからは2路線考えられます。

路線1:逆像法

  • \(t+\sqrt{3t-3t^{2}}=1\) になるかな?
  • \(t+\sqrt{3t-3t^{2}}=2\) になるかな?

というように

  • \(t+\sqrt{3t-3t^{2}}=k\) になるかな?
  • なれるとしたらどんな \(k\) かな?

と考えていきます。

例えば、

  • \(t+\sqrt{3t-3t^{2}}=1\) になるかな?

という疑問に対しては

  • この \(t\) の方程式が \(0 \leq t \leq 1\) の範囲に解をもつかどうか

ということが決め手になります。

同様に

  • \(t+\sqrt{3t-3t^{2}}=k\) になるかな?

という疑問に対しては

この方程式を整理した

\(4t^{2}-(2k+3)t+k^{2}=0\)

という2次方程式が \(0 \leq t \leq 1\) の範囲に解をもつかどうか

ということを考えることで、\(k\) としてあり得る値の範囲を捉え、\(k\) の最大値を Get するわけです。

路線2:微分でゴリゴリ

逆像法が思いつかなかった場合、

\(g(t)=t+\sqrt{3t-3t^{2}}\)

などとおき、微分して増減表を得ることで最大値を求めるという直接的な路線で処理することになるでしょう。

少し億劫な処理が求められますが、試験場での現実的路線はコチラだと思います。

場数を踏みたい方へ

今回登場した重要事項について、

  • 詳しく知りたい
  • 場数を踏みたい

という方は

コーシー・シュワルツの不等式

参考コーシー・シュワルツの不等式の証明【示すべき形から方針を決定する】【2011年度 大分大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   コーシー・シュワルツの不等式と呼ばれる有名不等式です。 今は範囲外ですが、行列という分野の中で「ケーリー・ハミルトンの定理 ...

続きを見る

予選決勝法

予選決勝法と固定の方法【円上の2点を固定する工夫】【1972年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) シンプルな問題ですが、泥沼に嵌まりかねない問題です。 手なりに文字を設定すると \(A (\cos \alpha , \sin \alpha)\) \(B(\sqrt{ 3 } \cos \beta , \sqrt{ 3 } \sin\beta)\) \(C(\sqrt{ 3 } \cos \gamma , \sqrt{ 3 } \sin\gamma)\) とおくと思います。 もちろんここから三角形 ABC の面積を出して、独立3変数関数の最 ...

続きを読む

2変数の扱い【独立2変数の扱いその1】【1990年度 東京都立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     不等式の証明形式で問いかけられていますが、結局左辺の独立2変数関数の最小値が5であることを言えばいいので、実質的には最大最小問題です。 独立2変数関数の最大最小問題については「予選決勝法」が有力な方針です。 「1つを変数、他を定数」 これが予選決勝法のキーワードです。 step1まず、他のもの(文字や点)を固定し、一つずつ動かしてそのときの最大(最小)を出す。 ここでは \(x ,  y\) の独立2変数関数の最小 ...

続きを読む

2変数の扱い【独立2変数編その2】【1992年度 大阪教育大】【1997年度 岐阜大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   独立2変数の扱いを学ぶ問題です。 本問は勉強している人ほど、沼にハマってしまいかねない問題です。   (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 勉強している人ほど、本問は「平均値の定理」の形に見えてきます。 そこで飛びついてやってみると、見事に失敗します。 (解答の中の【戦略】で失敗した様子を解説しています。) そこで結構メンタル的に揺さぶられるのですが、そこから何とかリカバリーしたいと ...

続きを読む

仮想難関大(オリジナル予想問題)【最大・最小~ガウス記号を含む関数~】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。 「手垢の付いていない問題で最後の力試しがしたい」 という方はぜひご活用ください。   (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む ガウス記号を含む関数なので、基本的に区間を区切って考えていくことになります。 得体のしれない相手ほど「実験」とい ...

続きを読む

2021年度 東北大学理系第2問【面積比】【2変数の扱い】【整数問題】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   三角形の面積比という話題から始まり、その面積比を与える2変数関数のとり得る値を考え、最後は整数問題に帰着させるという欲張りな問題構成になっています。 各分野に関する総合的な力が必要で、幾何の話題→関数の話題→整数の話題、と目線の移動も激しいです。 (1) を落とすと、それに連動して (2) ,  (3) も失ってしまう問題なので、(1) は慎重に確保したいところです。   のような角度 \(\theta\) を共有する ...

続きを読む

3頂点が動いたときの三角形の重心の存在範囲【2006年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) シンプルな設定ではありますが、簡単ではありません。 分野の選択も含めて、どの道具を駆使して解き進めていくかの判断も求められます。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 座標を導入すると まずは、\(A\)\((0 \ , \ 0)\) ,  \(B\)\((b \ , \ 0)\) ,  \(C\)\((c \ , \ d)\) などとおいてみます。 \(\overrightarrow{ AP }=p\ov ...

続きを読む

図形版予選決勝法【どちらの文字を先に固定するか】【1997年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) シンプルな問題です。 本問は試験場においては確保したいレベルの問題なのですが、確保するにしても手際の良さがわかれる要素を含んでいます。 本問を通じて持って帰りたい教訓は2点ほどあります。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む 状況を図示すると 与えられたシチュエーションを図示すると のような状況となります。 多分、この絵をかくときに、 \(P\) をまずかいて、その次に \(Q\) をかく という順番でかくと思います。 ...

続きを読む

3変数対称式の最大値【1996年度 大分医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 3変数の対称式に関する最大問題で、難問と言ってよいと思います。 今回の3変数は独立3変数なので、例えば、\(y\) と \(z\) を固定し、ひとまず \(x\) の関数として捉える、といったような 予選決勝法 を睨むのが第1感ですが、まともにぶつかると結構厳しいものがあると思います。 そこをどう乗り越えていくかが本問の山場です。 (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む 与式を大きくしようという気持ち 与式である \(\d ...

続きを読む

放物線上の4点によって作られる四角形の面積の最大【1990年度 横浜市立大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 放物線上の4点によって作られる四角形の面積の最大値を考える問題です。 すごくシンプルな問題に見えますが、完答するためには確固たる足腰が必要な問題です。 手際が悪いと案外打ち損じてしまう可能性も十分ありますが、地道に鍛錬を重ねてきた人は初見であってもキッチリと確保してくるでしょう。 そういった意味で合否の分かれ目となりそうなレベルの標準問題です。 (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 座標の設定 ひとまずは、 ...

続きを読む

逆像法

逆像法 第1講【逆像法の考え方と使いどころをマスター】【最大最小問題への応用】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回は難関大を目指すにあたっては避けて通れない話題である「逆像法」について扱います。 このシリーズを通じて 逆像法のもつイメージ 逆像法の代表的な使いどころ をマスターし、状況に応じて自分で使いこなせるようにすることでライバルに差をつけましょう。 このシリーズの一覧はこちら   代表的な使いどころ 入試によく出題される話題の中で、逆像法が有効にはたらく場面というのは以下の話題です。 逆像法の代表的な使いどころ 最大最小問題への応用 ...

続きを読む

逆像法 第2講【座標変換への応用】【線形計画法の考え方の素】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 逆像法シリーズの第2講は 座標変換への応用 線形計画法 と逆像法についての関連を見ていきます。 このシリーズの一覧はこちら   (以下ネタバレ注意)     + クリック(タップ)して続きを読む (1) について \((x \ , \ y)\) という座標から \((x+y \ , \ xy)\) という座標への変換を考える問題です。 1954年に東大が出題したのが元祖で、通称「エンマさまの唇問題」と呼ばれている ...

続きを読む

逆像法 第3講【通過領域への応用】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 逆像法シリーズ第3講は 通過領域 という難関大入試でも頻出の話題について扱います。   このシリーズの一覧はこちら     (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む 直接目で追いきれないので \(\cdots\) 今回、\(a\) が動くにつれて円 \(C_{a}\) も動くわけですが、中心、半径が同時に動くため、ラフな動きはともかく、細かな動きを目で追いきることは難しいでしょう。 そこで、逆に ...

続きを読む

逆像法 第4講【方程式の実数解のとり得る値の範囲】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 逆像法第4講は 方程式の実数解がとり得る値の範囲 を考えるにあたって、逆像法が活用できるということを見ていきます。 このシリーズの一覧はこちら     (以下ネタバレ注意) + クリック(タップ)して続きを読む (1) について これについては2次方程式の解に関する注文が入ってくる、いわゆる「解の配置問題」です。 整理しないとグチャグチャになりやすいタイプだと思います。 \(x=0\) を解にもつとき \(x=2\) を解 ...

続きを読む

も適宜ご活用ください。

解答はコチラ

-実践演習, 方程式・不等式・関数系
-, ,

© 2022 MathClinic