実践演習 幾何・ベクトル系

立体射影に関する点の軌跡【リーマン球を題材とした問題】【1980年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

空間座標における点の軌跡の問題であり、リーマン球を題材に作成したと思われます。

もちろん、そんなパワーワードを知っているか知っていないかで差が付くようなことはないので、ご安心ください。

(以下ネタバレ注意)

 

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まずは状況把握

ざっくりと絵を描いてみると

といった感じでしょうか。

とりあえず絵的にイメージがつかめるだけでも安心感が出ます。

イメージとしては

N を北極 ,  S を南極  に見立てた地球

のように思えばイメージしやすいでしょう。

構想的には

点 \(P\) が円の上を動くのか、線分上を動くのかによって話が変わってきそうなので、基本的には場合分けが発生することが予想されます。

とにもかくにも、点 \(Q\) の軌跡が欲しい以上、 \(Q\) の座標を Get しにいきたいところです。

\(Q\) の座標が欲しいということは \(\overrightarrow{ SQ }\) が欲しいということです。

3次元の話では、直交座標 \((x \ , \ y \ , \ z)\) の \(x\) ,  \(y\) ,  \(z\) の間にある関係式 ( 直交座標表示 ) を扱うのは億劫であることから、ベクトルを用いて議論したり表現したりということが多々あります。

\(\overrightarrow{ SQ }=\overrightarrow{ SN }+u\overrightarrow{ NP }\)

と、伸縮の倍率を表すパラメーター \(u\) を用いて \(Q\) の座標を表し、それが球 \(K\) 上にあるとして、\(x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1\) に代入することで、「うまい倍率 \(u\)」を決定するという路線で考えていきます。

ここからは先ほどの目論見通り場合分けをして処理していきます。

ここから先は伏せますが、点 \(P\) が線分 \(AB\) 上を動くときの処理で若干頭を悩ますことになると思います。

そのあたりをどう解決するかを考えてみてください。

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