実践演習 方程式・不等式・関数系

直交2接線の交点の軌跡【放物線の準線】【2013年度 山梨大学】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

放物線に対する直交2接線の交点の軌跡を求めるという有名テーマです。

精力的に学習している人は結論を知っているでしょう。

今回はそのような有名テーマを押さえつつ、プラスアルファでの問いかけについても併せて考えてみます。

 

(以下ネタバレ注意)

 

 

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直交2接線の交点について

(1)は有名テーマです。

曲線外の点から引いた接線の立式の仕方は、「接点を設定する」ということから始めます。
(某予備校講師の「接点 \(t\) 」はあまりにも有名です。)

今回は相手が放物線なので「通過点」P から立式して、判別式に持ち込んでもよいです。

ただ、判別式を相手にできるのは2次曲線だけなので、より一般的な態度で解答は作っています。

(1) の結論である点 P の軌跡についてですが、

有名事実

放物線の直交2接線の交点の軌跡は、その放物線の準線になる

ということは難関大受験生(理系)の皆さんはインストールしておきましょう。

併せて同じ2次曲線の楕円と双曲線の直交2接線の交点の軌跡は円となり、準線に倣って(?)「準円」と呼ばれることもセットにしておくとよいでしょう。

それについては

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(2) について

(2)は「じゃあ 45° はどう?」という問いかけです。

座標平面上で角度を扱うときの手法は次の3つです。

座標平面上で角度を扱うときの方針

  • ベクトルの内積を用いて、cos の服を着せて角度を扱う
  • tan の加法定理を用いて、傾きとtan の関係を用いる
  • 複素数平面として考えて、極形式を用いて回転させる

このうち、私の経験上計算量が少なく済むのは「tanの加法定理を用いた方針」です。

これはベクトルと複素数が「線分の回転」に対して、tan で回すのは「直線」ということが起因していると思われます。

長さの情報を含みながらの処理が重たくなるのは、よくよく考えてみたらそうかもしれませんね。

今回は接線と接線のなす角で、直線どうしのなす角ですから tan の加法定理で処理していきます。

追記:2つの法線の交点について

類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

(1) は今回のテーマである直交2接線の交点の軌跡です。

(2) は

「じゃあ2法線の交点の軌跡は?」

という、ある意味自然な問いかけです。

  • 愚直に解き進める方針の【解1】
  • 少し凝って幾何的に解き進める方針の【解2】

の2路線を用意しました。

試験場では【解1】の路線でしっかりと解ききれればOKでしょう。

【解2】は見えれば気持ちのいい解法です。

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