実践演習 極限・微分積分系

有名曲線【等角螺旋と特徴的な性質】【2000年度 神戸大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

有名曲線の一つである「等角螺旋」と呼ばれる曲線について扱った問題です。

対数螺旋、ベルヌーイの螺旋など様々な呼ばれ方がありますが、性質的なものと関連付けると等角螺旋という呼び方が「名が体を表す」ような呼び方なのでここではそう呼ばせてもらいます。

本問は教科書的な力で言えば

  • 微分法の基本的な運用力
  • ベクトルを用いて座標平面上の角度を扱う力
  • パラメータ表示された曲線の弧長を求める力

が問われています。

上記の力をはかるためには、別に等角螺旋を題材にする必要はありませんが、等角螺旋はオウムガイの殻など自然界の様々なところで観察される興味深い曲線です。

題材が題材なだけに深入りしだすとキリがない部分があります。

ここでは等角螺旋という名が表す通り、「螺旋の進行方向が、時刻によらず中心に対して一定の角を保っている」という性質を中心にピックアップしてみます。

(以下ネタバレ注意)

 

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等角螺旋を表す式について

一般に極座標表示で

\(r=ae^{b\theta}\)  (\(a\) ,  \(b\) は定数)

と表される曲線が等角螺旋です。

直交座標におけるパラメータ表示で表現すると

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=ae^{b\theta}\cos{\theta} \\
y=ae^{b\theta}\sin{\theta}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

となります。

(1) について

座標平面上で、ベクトルのなす角を立式するには「内積の利用」を考えます。

時刻 \(t\) における動点 \(P\)\((x(t) \ , \ y(t))\)の位置ベクトル \(\overrightarrow{ OP }\) と、時刻 \(t\) における速度ベクトル \(\vec{v}=(x'(t) \ , \ y'(t))\) とのなす角 \(\theta\) が時刻 \(t\) によらない一定値であることを証明したいわけです。

式的には内積の定義 \(\overrightarrow{ OP } \cdot \vec{v}=|\overrightarrow{ OP }||\vec{v}|\cos{\theta}\) を変形した

\(\cos{\theta}=\displaystyle \frac{\overrightarrow{ OP } \cdot \vec{v}}{|\overrightarrow{ OP }||\vec{v}|}\)

という形で見て計算していけばよいことになります。

この計算を進めるにあたっては基本的な微分法の計算になりますので、落ち着いて処理していきましょう。

今回は証明問題なので、\(\cos{\theta}\) の計算結果に \(t\) が残ったら、どこかで計算ミスをしていることが分かります。

(2) について

動点の動いた道のりの公式から

曲線の長さ(道のり)

\(\displaystyle \int_{0}^{2\pi}|\vec{v}| dt\)

を用いて計算していけばよいことになります。

今回は \(\theta=\displaystyle \frac{\pi}{3}\) と、決定されていますから、\(a\) についても特定されますが、\(a\) のままでも計算は進めていけますので問題はないはずです。

発展類題について

発展類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

類題は等角螺旋そのものではありませんが、等角螺旋のもつ

進行方向が、中心に対して一定の角を保っている

という性質を抽出し、相似な三角形で近似しているような出題です。

このあたりは等角螺旋のもつ「自己相似構造」を匂わせるような含みがあり、等角螺旋を題材としながらもそのままストレートに扱わず、アクセントを効かせて含みをもたせるような問い方だなと感じます。

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