実践演習 極限・微分積分系

有名曲線【レムニスケート】【2005年度 鹿児島大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

レムニスケート(連珠形)と呼ばれる有名曲線を題材とし、

  • 直交座標表示と極方程式との結びつき
  • 極方程式で表される曲線の面積

について学習します。

正直極方程式はウルサイ議論が多く、記述で抜かりなくまとめるには神経を使うので疲れる分野に感じる人も多いでしょう。

そのあたりについては「方程式」という言葉の意味を噛み砕いていけば、押さえるべき部分というのがある程度は見えると思います。

どうやって解答をまとめようかという「記述のまとめ方」みたいなところも参考にしていただければと思います。

(以下ネタバレ注意)

 

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方程式の意味

方程式というのはざっくり言えば

「この \(=\) を満たす〇〇集まれ」

という呼びかけです。

1次「方程式」

  • \(2x-3=7\) を満たす \(x\) 集まれ

→  集合体は \(x=5\)

2次「方程式」

  • \(x^{2}-3x+2=0\) を満たす \(x\) 集まれ

→  集合体は \(x=1 \ , \ 2\)

図形と「方程式」

  • \(y=2x+1\) を満たす点 \((x \ , \ y)\) 集まれ

→  集合体は傾き \(2\) ,  \(y\) 切片が \(1\) の直線

ベクトル「方程式」

  • \(\overrightarrow{ \mathrm{OP} }=(1-s) \overrightarrow{ \mathrm{OA} }+s \overrightarrow{ \mathrm{OB} }\) を満たす点 \(\mathrm{P}\) 集まれ

→  集合体は直線 \(\mathrm{AB}\)

といった具合です。

本問は

  • \(\mathrm{F_{1}P} \times \mathrm{F_{2}P}=a^{2}\) を満たす点 \(\mathrm{P}\) 集まれ

という呼びかけを行うわけです。

(1) について

  • \(\mathrm{F_{1}P} \times \mathrm{F_{2}P}=a^{2}\) を満たす点 \(\mathrm{P}\) \((x \ , \ y)\)  集まれ

と、直交座標 \((x \ , \ y)\) を呼びかければよいことになります。

どんな \((x \ , \ y)\) が集まってくるかは

\(\mathrm{F_{1}P} \times \mathrm{F_{2}P}=a^{2}\) ,  すなわち

\(\sqrt{\{(x-a)^{2}+y^{2}\}} \sqrt{\{(x+a)^{2}+y^{2}\}}=a^{2}\)

を満たす \((x \ , \ y)\) です。

これは

\(\{(x-a)^{2}+y^{2}\} \{(x+a)^{2}+y^{2}\}=a^{4}\)

を満たす \((x \ , \ y)\) 集まれと呼びかけたときの集合体と同じです。

あとはこれをまとめていけばよく、これをまとめると

\((x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2})\)

とまとまります。

この \(=\) を満たす \((x \ , \ y)\) 集まれという呼びかけに対する集合が曲線 \(C\) ということに他なりません。

(2) について

今度は極「方程式」です。

つまり、

  • \(\mathrm{F_{1}P} \times \mathrm{F_{2}P}=a^{2}\) を満たす極座標 \(\mathrm{P}\) \((r \ , \ \theta)\)  集まれ

という呼びかければいいわけです。

せっかく (1) で、

  • \(\mathrm{F_{1}P} \times \mathrm{F_{2}P}=a^{2}\) を満たす直交座標 \((x \ , \ y)\) の集合体

を表す式が得られていることから、(1) の式をもとに考えていきます。

原点が極であるとき、直交座標 \((x \ , \ y)\) と、極座標 \((r \ , \ \theta)\) の間に

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=r\cos{\theta}\\
y=r\sin{\theta}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

という関係が成り立ちます。

これを基に、(1) で得た、点 \(\mathrm{P}\) を縛っている \(x\) ,  \(y\) に関する関係式を \(r\) ,  \(\theta\) に関する関係式に書き換えればおしまいです。

この変換作業自体は習熟していればすぐに終わるのですが、極座標や極方程式については冒頭述べたように細かな部分の記述がウルサイです。

ただ、方程式の意味ということを理解していれば、【解答】を読んだ際、その意図も見えてくると思います。

(3) について

今回の曲線 \(C\) は

  • \(x\) 軸対称 かつ \(y\) 軸対称

です。

根拠については (1) の結果が分かりやすいでしょう。

\((p \ , \ q)\) が \(C\) 上にあるならば

  • \((-p \ , \ q)\) も \(C\) 上にある
  • \((p \ , \ -q)\) も \(C\) 上にある

ということが言えるからです。

そうなると、第1象限で考えれば労力が少なく済みます。

今回の曲線 \(C\) の第 1 象限における部分の概形は

という概形となります。

面積については、

\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle \frac{1}{2} r^{2} d\theta\)

という扇形近似で求めればよいでしょう。

ただ、【解答】では一応の説明はつけておきました。

レムニスケートについて

本問で扱った

\(r^{2}=2a^{2}\cos{2\theta}\)

という極方程式で与えられる曲線 \(C\) は

レムニスケート

と呼ばれる有名曲線です。

曲線の全体像は

のようになります。

\(r^{2} \geq 0\) として存在しなければなりませんから、\(\cos{2\theta} \geq 0\) となるような \(\theta\) の範囲で定義されることになります。

\(0 \leq \theta \leq 2\pi\) の範囲で考えると、\(0 \leq 2\theta \leq 4\pi\) なので

  • \(0 \leq 2\theta \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\) ,  \(\displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq 2\theta \leq \displaystyle \frac{5\pi}{2}\) ,  \(\displaystyle \frac{7\pi}{2} \leq 2\theta \leq 4\pi\)

すなわち

  • \(0 \leq \theta \leq \displaystyle \frac{\pi}{4}\) , \(\displaystyle \frac{3\pi}{4} \leq \theta \leq \displaystyle \frac{5\pi}{4}\) ,  \(\displaystyle \frac{7\pi}{4} \leq \theta \leq 2\pi\)

という範囲で定義されるわけです。

2定点のからの距離の積が一定となる点の軌跡

2定点 \(\mathrm{F_{1}}\) \((b \ , \ 0)\) ,  \(\mathrm{F_{2}}\) \((-b \ , \ 0)\) に対して

\(\mathrm{F_{1}P} \times \mathrm{F_{2}P}=a^{2}\)

を満たす点 \(\mathrm{P}\) の軌跡が表す図形は

カッシーニの卵形線

と呼ばれます。

今回は \(b=a\) のときを考えていたわけですが、\(b=a\) のときにレムニスケートになったということは

レムニスケートはカッシーニの卵形線の特殊なもの

という位置づけだと言えるでしょう。

  • 2定点からの距離の和が一定 → 楕円
  • 2定点からの距離の差が一定 → 双曲線

に加えて

  • 2定点からの距離の積が一定 → カッシーニの卵形線

という事実は最初知ったときは「ほぉ~」という何とも言えない驚きを感じることでしょう。

そして、レムニスケートがその性質を満たしているということも中々興味深いことですね。

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