整数系

整数問題の観察眼【2011年度 和歌山県立医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

不定方程式ですが、絶対値と平方根が入っていて、このあたりの処理の手際の良さが差を生むでしょう。

現役生目線では標準~やや難だと思います。

ただ、医学科受験生にとってはこのあたりの負荷をかけられても耐えられる力がないと苦しいです。

(以下ネタバレ注意)

 

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2乗路線について

絶対値についても、平方根についても

2乗処理

することで絶対値や平方根が外れるという性質をもっています。

ただ、2乗処理に拘りすぎると今回については埒があかないでしょう。

実験してみる

まずは簡単な数で実験してみたいですね。

最初に \(x\) を決めようとする際に

あれ?そもそも \(x \leq 1\) じゃないとマズいじゃん

と気が付くはずです。

そうなってくると次は

平方根の中身が平方数

となるように仕組もうと頑張るでしょう。

このあたりから

\(\sqrt{1-x}\) って整数じゃん

と思えるはずです。

これにより、\(0\) 以上の整数 \(k\) を用いて \(1-x=k^{2}\) とおくことにより、

\(\sqrt{1-x}=k\)

と平方根を回避することができます。

次の一手

実験していれば

  • \(x\) を「これ!」と決めると、次は \(y\) の値が出る

という構造となっていることに気がつくでしょう。

この実験はここでも効いてきて

\(x=1-k^{2}\) と \(x\) が \(k\) の式で表せるのであれば、\(y\) も \(k\) の式で表せる

という流れも見えてきます。

\(y\) を得ようと思うと、絶対値の処理が必要になります。

上述したように場合分けで愚直に絶対値を捌いていきます。

場合分けの不等式を利用

絶対値を外すための場合分けにおいて

  • \(x \geq 2y\) のとき
  • \(x \lt 2y\) のとき

と場合分けしますが、将来的に、\(x\) も \(y\) も \(k\) で表せるのだったら、\(x \geq 2y\) や \(x \lt 2y\) といった不等式を利用することで、\(k\) についての不等式が得られ、範囲が絞れることが期待できます。

実際ここまでくれば後は消化試合みたいなものとなります。

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