テーマ別演習 数値評価 極限・微分積分系

数値評価 第4講【e^eの評価】【1992年度 北海道大学】

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「数値評価」シリーズの第4弾です。

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数値評価 第1講【円周率πの評価】【2019年度 埼玉大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     「数値評価」というテーマを扱います。 このシリーズの一覧はこちら   今回は円周率 \(\pi\) の評価です。 第1回ということもあり、まずは丁寧な誘導のついた問題をもってきました。 (1)は展開して定積分を計算するだけです。 (2)は  \(x=\tan\theta\)  \((-\displaystyle\frac{\pi}{2}  \lt \theta \lt \displaystyle\frac ...

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数値評価 第2講【ネイピア数eの評価】【2010年度 横浜市立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   「数値評価」シリーズの第2弾です。 このシリーズの一覧はこちら   前回の第1弾は円周率 \(\pi\) の評価でした。 今回はネイピア数 \(e\) の評価です。 案の定ヒントめいた不等式が誘導としてついています。 前回と違い、今回はちょっとだけオチで一工夫が必要です。 (2) の不等式に \(a=1\) をそのまま代入してもうまくいきません。 今回の問題を通じて教訓として学んでほしいことは 評価に失敗したときのリカ ...

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数値評価 第3講【e^πの評価】【1999年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   「数値評価」シリーズの第3弾です。 このシリーズの一覧はこちら   今回は \(e^{\pi}\) の評価です。 前回までと違い、今回はノーヒントでの出題です。 まず、今回の定積分  \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} e^{x}\sin^{2} x dx\)  は計算可能です。 次数を下げるために半角公式でほぐした後は   ポイント 【  \(\displaystyle \int_ ...

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数値評価 第4講【e^eの評価】【1992年度 北海道大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)     「数値評価」シリーズの第4弾です。 このシリーズの一覧はこちら   今回は \(e^e\)  の評価です。 ノーヒントでの出題であるため、基本的な構想を自分で組み立てる必要があります。 与えられた近似値を単純に使うとなると、手計算できる範囲では $$e^2 \lt e^e \lt e^3$$ とやるのが普通でしょうか。 これを計算しても、 $$7.387524 \lt e^e \lt 20.0792902 ...

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数値評価 第5講【log2の評価】【2007年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 「数値評価」シリーズの第5弾です。 このシリーズの一覧はこちら 今回は \(\log{2}\) という自然対数の評価です。 (1) という誘導設問がありますが、単純に使うと失敗します。 恐らくほとんどの人が最初失敗して、そこからリカバリーしきれるかどうかという勝負になるでしょう。 不等式の精度を高めるために(誤差を小さくするために)どのようにすべきか、という部分に脳みそをつかっていきたいところです。 (以下ネタバレ注意)   + ク ...

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今回は \(e^e\)  の評価です。

ノーヒントでの出題であるため、基本的な構想を自分で組み立てる必要があります。

与えられた近似値を単純に使うとなると、手計算できる範囲では

$$e^2 \lt e^e \lt e^3$$

とやるのが普通でしょうか。

これを計算しても、

$$7.387524 \lt e^e \lt 20.079290232$$

と苦労した割に大した情報は得られません。

ここからどのようにリカバリーするかです。

(以下ネタバレ注意)

 

 

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  • 与えられた条件が自然対数の形で与えられていることから、\(y=\log x\)  で考える

もしくは

  • \(e^e\) という、今回扱う数値の形から、\(y=e^x\) を考える

のいずれかの方針で考えることになるでしょう。

与えられた条件から、

\(\log 3+\log 5=2.708\) と \(e\) の値にかなり近いことが分かります。

つまり、\(\log 15\) が \(e\) に近いことが分かります。

当然次は上から押さえようと思うはずですから、そうなると \(\log 16=4 \log 2\) を計算する気になりますね。

これにより、\(15 \lt e^e \lt 16\)  を得るため、整数部分は分かりました。

問題はどちらにより近いかということですから、次に興味がいくのは \(\displaystyle \frac{31}{2}\) や、\(\log \displaystyle \frac{31}{2}\)  です。

もちろん与えられた条件では \(\log \displaystyle \frac{31}{2}\) を計算することができませんから、等式を諦めて不等式での処理(評価)をしたいと思います。

どのように評価するかについては経験によるところが大きいですが、初見であってもまずは自力で考えてみてほしいと思います。

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