実践演習 極限・微分積分系

定積分に関する評価と極限【はさむための工夫】【2009年度 大分大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

定積分に関する評価と極限についての問題です。

(1) は基本的な積分計算で、ここは落とせません。

(2) が文句なしの難問です。

まず一般項 \(I_{n}\) は求められません。

ポイント

本人不在の極限は「はさみうちの原理」

難関大志望者であれば、これは必ずインストールしておきましょう。

ただ、求められないという判断をするにあたっては

「求められるものは求められる」と言えることが大切です。

自分の勉強不足で求められないのか、人類レベルで求められないのか

本当は求められるのに自分の勉強不足で求められず、はさみうちという方針に走っても、それは迷走でしょう。

ですから、まずは基本的な積分計算についてはきちんと準備をしておき、手に豆のできるような計算練習をしておくことが大切です。

今回の \(I_{n}\) については人類レベルで求められないでしょう。

そこで、等式をあきらめ不等式をつないでいきます。

はさみうちというものの、どうやってはさむのかで困っている受験生が多いのも分かります。

 

定積分の評価の際、指針となる言葉としては

定積分の評価のコツ

  • 体の一部を定数化
  • 積分漸化式に絡める

という言葉です。

【定積分と不等式評価についての基礎シリーズについてはこちら】

定積分と不等式評価 第1講【定積分の評価方法】【2001年度 大分医科大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   多くの人が苦手とする話題である「定積分と不等式評価」という話題です。 特に現役生の勝負のカギは数Ⅲの完成度にあると言っても過言ではないのですが、結局この分野を苦手としたまま当日をむかえてしまうことになる受験生は沢山いるでしょう。 そんな受験生たちに差をつけましょう。 このシリーズの一覧はこちら   不等式評価には絶対的な正解がありません。 例えば \(1 \lt □\) の □ に何を入れるかと言われたら人によるところ ...

続きを読む

定積分と不等式評価 第2講【ライプニッツ級数】【2012年度 琉球大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   今回は \(\tan{ \ }\) に関する定積分を扱います。 積分漸化式の作成については「部分積分」というのが常套手段なのですが、\(\tan{ \ }\) に関する定積分については例外です。 今回の問われ方は「\(I_{n}+I_{n+2}\) を求めよ。」であり、これはかなり親切です。 「\(I_{n+2}\) を \(I_{n}\) と \(n\) を用いて表せ。」であれば正答率はもっと下がると思います。 その場合の対処 ...

続きを読む

定積分と不等式評価 第3講【ライプニッツ級数】【項別積分】【2006年度 名古屋市立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   前問に引き続き、ライプニッツ級数を題材とした定積分と不等式評価についての問題を見てみます。 このシリーズの一覧はこちら   今回は \(\tan{ \ }\) の逆関数を用いた誘導が付いた問題です。 (1) はイロハのイですが、今回は【総括】の中で \(x=\tan{\theta}\) の置き換えで上手くいくバックボーンについて触れておきました。   (2) においては「体の一部を定数化」です。 その際には、 ...

続きを読む

定積分と不等式評価 第4講【メルカトル級数】【2015年度 山形大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   定積分と不等式評価の第4講です。 今回は メルカトル級数 \(1-\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{4}+\cdots\cdots=\log{2}\) について扱った問題を見てみます。 とは言え、本問は、よく言えば丁寧な、悪く言えば過保護な誘導がついています。 ほとんど言われた通り進めていけば、完答できてしまうレベルだと ...

続きを読む

定積分と不等式評価 第5講【eの無限級数表示】【2004年度 高知大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   定積分と不等式評価の第5講です。 このシリーズの一覧はこちら 今回はネイピア数 \(e\) の無限級数表示がオチの問題です。 背景には \(e^{x}\) のテイラー展開(マクローリン展開) \(e^{x}=1+\displaystyle\frac{x}{1!}+\displaystyle\frac{x^{2}}{2!}+\displaystyle\frac{x^{3}}{3!}+\cdots\) があります。 しかし、それを前 ...

続きを読む

大抵の定積分の評価についてはこれで倒せるのですが、本問はそれが通用しません。

【戦略】の中で失敗した様子をお見せするとともに、リカバリーについて解説します。

まずは解答を見る前に、様々な試行錯誤を考えてみてほしいと思います。

 

解答はコチラ

-実践演習, 極限・微分積分系
-, ,

© 2022 MathClinic