実践演習 極限・微分積分系

定積分に関する評価と極限【はさむための工夫】【2009年度 大分大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

定積分に関する評価と極限についての問題です。

(1) は基本的な積分計算で、ここは落とせません。

(2) が文句なしの難問です。

まず一般項 \(I_{n}\) は求められません。

ポイント

本人不在の極限は「はさみうちの原理」

難関大志望者であれば、これは必ずインストールしておきましょう。

ただ、求められないという判断をするにあたっては

「求められるものは求められる」と言えることが大切です。

自分の勉強不足で求められないのか、人類レベルで求められないのか

本当は求められるのに自分の勉強不足で求められず、はさみうちという方針に走っても、それは迷走でしょう。

ですから、まずは基本的な積分計算についてはきちんと準備をしておき、手に豆のできるような計算練習をしておくことが大切です。

今回の \(I_{n}\) については人類レベルで求められないでしょう。

そこで、等式をあきらめ不等式をつないでいきます。

はさみうちというものの、どうやってはさむのかで困っている受験生が多いのも分かります。

 

定積分の評価の際、指針となる言葉としては

定積分の評価のコツ

  • 体の一部を定数化
  • 積分漸化式に絡める

という言葉です。

【定積分と不等式評価についての基礎シリーズについてはこちら】

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大抵の定積分の評価についてはこれで倒せるのですが、本問はそれが通用しません。

【戦略】の中で失敗した様子をお見せするとともに、リカバリーについて解説します。

まずは解答を見る前に、様々な試行錯誤を考えてみてほしいと思います。

追記(2024年7月27日)

読者様から解答例に誤りがあることをご指摘いただきました。

その解答PDFは削除し、新しいものに差し替えました。

ご迷惑をおかけし、申し訳ありませんでした。

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