定積分と不等式

定積分と不等式評価 第2講【ライプニッツ級数】【2012年度 琉球大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

今回は \(\tan{ \ }\) に関する定積分を扱います。

積分漸化式の作成については「部分積分」というのが常套手段なのですが、\(\tan{ \ }\) に関する定積分については例外です。

今回の問われ方は「\(I_{n}+I_{n+2}\) を求めよ。」であり、これはかなり親切です。

「\(I_{n+2}\) を \(I_{n}\) と \(n\) を用いて表せ。」であれば正答率はもっと下がると思います。

その場合の対処法は

\(I_{n+2}=\displaystyle \int_{0}^{ \frac{\pi}{4}} \tan^{n+2}{\theta}  \ d\theta\)

\(=\displaystyle \int_{0}^{ \frac{\pi}{4}} \tan^{n}{\theta}\tan^{2}{\theta}  \ d\theta\)

\(=\displaystyle \int_{0}^{ \frac{\pi}{4}} \tan^{n}{\theta}(\displaystyle\frac{1}{\cos^{2}{\theta}}-1) \  d\theta\)

\(=\left[ \displaystyle\frac{1}{n+1}\tan^{n+1}{\theta} \right]_0^\frac{\pi}{4}-I_{n}\)

というように、

tanについての積分漸化式の処方箋

2乗を分離せよ

というのが処方箋となります。

(2) , (3) については前回で学習した内容が活かせるでしょう。

 

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さて、今回のオチは有名な「ライプニッツ級数」と呼ばれるものです。

ライプニッツ級数

\(1-\displaystyle \frac{1}{3}+\displaystyle \frac{1}{5}-\displaystyle \frac{1}{7}+\cdots=\displaystyle \frac{\pi}{4}\)

もちろん、入試であれば何らかの誘導はつくと思われますのでご心配なく。

入試においてよく見るライプニッツ級数の導出への誘導としては、2パターンあり、本問はそのうちの1つです。
(もう1つについては次回扱う予定です。)

これについては特に覚えるというよりも、誘導をどう活用するかといった活用力があれば対応可能だとは思います。

が、それなりに由緒あるオチなので、一度経験して、そのストーリーをマスターしておいた方が安心と言えば安心です。

 

さて、ライプニッツ級数の話で目がそちらに行ってしまったかもしれませんが、定積分の評価についてが本題です。

前回の内容で通じる部分と通じない部分をしっかりと整理しておきましょう。

<積分漸化式の作成について>

「部分積分経由での漸化式作成」
※ただし、今回の \(\tan{ \ }\) の定積分に関しては例外

<評価について>

「体の一部を定数化」

「積分漸化式に絡む」

以上についてきちんとマスターすることを第一にしてください。

ライプニッツ級数はその次です。

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