実践演習 極限・微分積分系

和の極限【形から次の一手を見出す】【2003年度 京都大学】

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シンプルな中に芯がある、京大らしい問題です。

和に関する極限についてインスピレーションするものとしては

和の極限の有力方針

①:求められない \(\sum_{ \ }^{ \ } \) →  面積評価

②:区分求積法

などが考えられます。

① についてですが、面積評価をするにあたって \(y=(-1)^{x} (\displaystyle\frac{x}{2n})^{100}\) のグラフがかけません。

② についても直接の運用は難しそうです。

(以下ネタバレ注意)

 

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まずは、\(\sum_{ \ }^{ \ } \)  を書き下してみると

\( \displaystyle \sum_{m=1}^n  {(\displaystyle\frac{2m}{2n})^{100}-(\displaystyle\frac{2m-1}{2n})^{100}}\)

となります。

ここで、\(\sum_{ \ }^{ \ } \)  の中が \(f(\displaystyle\frac{2m}{2n})-f(\displaystyle\frac{2m-1}{2n})\) の形をしていることに注目し、この形から「平均値の定理」をインスピレーションしたいところです。

ポイント

\(f( \ )-f( \ )\) の形に対して平均値の定理は有力方針

ということは常識化しておきましょう。

この後の狙いは平均値の定理を運用する際に登場する不等式を用いて、はさみうちの原理で仕留めるビジョンです。

問題を見てからここまで、様々なものをインスピレーションしてきましたが、

  • 形から次の一手をインスピレーションする
  • インスピレーションした方針で解き進める見通しがあるか考える

ということの大切さを本問を通じて実感しますね。

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