実践演習 幾何・ベクトル系

分野の設定 変数の設定【1986年度 一橋大学】

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見た目ベクトルの問題です。

本問を通じて様々なものの見方を学ぶことができると思います。

(以下ネタバレ注意)

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本問においては

ベクトル・座標・幾何

という分野の選択が考えられます。

ベクトルの路線

平面ベクトルでは

1つの始点、2つの基底

というセオリーに従い、

\(\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}\)

と\(\vec{a}\) ,  \(\vec{b}\) で表していきます。

そのためにはこの2つのベクトルが1次独立であることを言う必要がありますので、それをことわるところからはじめます。

\(\vec{a}\) ,  \(\vec{b}\) が零ベクトルではないことは明らかですから、これらが平行でないことを言います。

平行と仮定すると

\(|\vec{a} \cdot \vec{p}| : |\vec{b} \cdot \vec{p}|=|\vec{a}| : |\vec{b}|\)

ということになるため、

\(|\vec{a} \cdot \vec{p}| : |\vec{b} \cdot \vec{p}|=\sqrt{2} : \sqrt{3}\)

となり、条件に矛盾します。

これにより、

\(\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}\)

と表せます。

これをひっさげて

  • \(\vec{a} \cdot \vec{p}=2\)
  • \(\vec{b} \cdot \vec{p}=3\)
  • \(|\vec{p}|=\sqrt{5}\)

という \(\vec{p}\) が絡む条件式に絡んでいきます。

この路線については【解1】で扱っています。

座標の路線

ベクトルの成分と絡めた座標の路線を考えてみます。

\(\vec{a}=\left(
\begin{array}{c}
x\\
y\\
\end{array}
\right)\)

\(\vec{b}=\left(
\begin{array}{c}
u\\
v\\
\end{array}
\right)\)

と設定し、条件を立式していきます。

この路線については【解2】で扱います。

変数の設定の工夫

座標の路線において、変数の設定を工夫してみます。

$$\vec{p}=\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{5}\\
0\\
\end{array}
\right)$$

と設定するのはいいと思います。

\(|\vec{a}|=\sqrt{2}\) ,  \(|\vec{b}|=\sqrt{3}\) という条件から

\(\vec{a}=\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{2} \cos{\alpha}\\
\sqrt{2} \sin{\alpha}\\
\end{array}
\right)\)

\(\vec{b}=\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{3} \cos{\beta}\\
\sqrt{3} \cos{\beta}\\
\end{array}
\right)\)

と設定することも自然でしょう。

これにより

  • \(\vec{a} \cdot \vec{p}=2\)
  • \(\vec{b} \cdot \vec{p}=3\)

に集中すればよくなります。

この路線については【解3】で扱います。

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