実践演習 極限・微分積分系

円柱と円錐の共通部分の体積【見づらい立体への対応】【2003年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

円柱と円錐の共通部分の体積についての問題です。

東大は昔から立体図形を扱った体積に関する出題が目立ちます。

東大に限らず、難関大において定期的に体積に関する出題が見られることも考えると、できるだけ多く経験値を積んでおきたいところです。

 

(以下ネタバレ注意)

 

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体積を求めるためには断面積を把握することになります。

全体像がよくわからない中で、どのように断面積を把握していくかですが

円柱と円錐を不等式を用いて表す

というのが有力方針です。

これにより、\(z=t\) で切った断面を式として立式することができます。

円柱については不等式で表すことは特に困ることはないですし、難関大受験生であれば困っていてはいけません。

円錐については経験がものを言います。

円錐というのは回転曲面の一種ですから、回転曲面の方程式の立て方について学ぶ必要があるでしょう。

これについては

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の中でも触れていますので、少しでも経験を積みたい方は確認してみてください。

また、本問最大の山場ですが

断面積が \(\theta\) の式となっているからといって \(V=\displaystyle \int_{ \ }^{ \ } S d\theta\)  としてしまってはいけません。

\(z=t\) で切っているのであれば、途中どんな文字が入ってこようが、 \(V=\displaystyle \int_{ \ }^{ \ } S dt\) です。

ただ、\(S\) が \(t\) の式でなく \(\theta\) の式なので、\(t=1-\cos{\theta}\) という対応関係からの置換積分になっていきます。

あなたが最後に書く式は、切った時点で決まってる

このことは心に刻んでおいてほしい基本事項です。

類題について

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