仮想難関大

仮想難関大(オリジナル予想問題)【2次関数~通過点に関する論証~】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。

「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」

という方はぜひご活用ください。

今回は2次関数に関する問題です。

タカが2次関数となめてかかると火傷するかもしれません。

(以下ネタバレ注意)

 

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(1) について

\((2 \ , \ 0)\) ,  \((1 \ , \ -2)\) ,  \((-1 \ , \ 6)\) を通る2次関数を求めればよいので、正直煮るなり焼くなり刺身にするなりどうとでもなります。

\(y=ax^{2}+bx+c\) とおく方針は皆様に任せます。

ここでは \(x\) 切片を活かし、

\(y=a(x-2)(x-\beta)\)

とおく方針で行きます。

もちろん、条件から

\(a\neq 0\) ,  \(\beta \neq 2\)

です。

(2) について

条件 (ii) がクセモノだと思います。

試しに

と通過点候補をプロットしてみても、何かどれもあり得そうです。

まともに考えると \({}_4 \mathrm{ C }_2=6\) 通りあり、流石に連立方程式を 6 回処理するのは鬱陶しいでしょう。

何とかして候補を削っていきたいわけです。

そうなると、

この点は通らないじゃん

という形で候補を削っていくことになるでしょう。

趣旨としてはそこにあり、通過点ではなく、非通過点に注目するわけです。

ひとまず、条件 (i) を満たすようなグラフを考えてみます。

\(a \gt 0\) のとき

\(y=f(x)\) のグラフは下に凸の放物線です。

条件 (i) を満たすようなグラフを考えてみると

という感じでしょう。

4つの通過点候補のうち明らかに

\((9 \ , \ -2)\) ,  \((4 \ , \ -1)\)

は削れますね。

\(a \lt 0\) のとき

今度は \(y=f(x)\) のグラフは上に凸の放物線となります。

条件 (i) を満たすグラフを考えてみると

のような図がかけるでしょう。

候補を削るために、先ほどよりもほんの少しだけ論証が必要です。

このあたりをうまくまとめられるかもポイントになってきます。

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