仮想難関大

仮想難関大(オリジナル予想問題)【微積分~面積比一定問題~】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。

「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」

という方はぜひご活用ください。

今回は指数関数 \(y=e^{x}\) に関する問題です。

余りにも基本的な関数であり、性質が性質なだけにどこかで出題されているような気がしますが。

(以下ネタバレ注意)

 

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図示すると

\(l\) ,  \(m\) の式を立式し、交点の \(x\) 座標を計算し、状況を図示すると

という構図になります。

\(S_{2}\) について

計算しやすいのは \(S_{2}\) でしょうか。

台形 \(\mathrm{ACDB}\) の面積から \(\displaystyle \int_{a}^{a+1}e^{x}dx\) を引けばよいでしょう。

\(S_{1}\) について

色々計算の仕方があるでしょうが、\(\displaystyle \int_{a}^{a+1}e^{x}dx\) から台形を2個除いて計算します。

  • 積分計算で仕留めるか
  • 工夫に基づいて策に走るか

というのは試験場では結構大きな問題です。

「何かうまい方法があるのか」と、色々策に拘った挙句、うまい打開策が見つからず、結局普通に積分計算した方が早かったということもあり得ます。

普段の学習において、

「方針が立ったからもう計算はいいや」

という態度でいると、こういう「現場力」は中々身に付きにくいと思います。

放物線の類似の性質

放物線にも同様の性質があり、上の図のように

放物線と2接線で囲まれる面積 \(S_{1}\)

接点同士を結ぶ直線と放物線で囲まれる面積 \(S_{2}\)

としたとき、

\(\displaystyle \frac{S_{1}}{S_{2}}=\displaystyle \frac{1}{2}\)

と、面積比は一定となります。

放物線の場合、接点は \((a \ , \ f(a))\) ,  \((b \ , \ f(b))\) とより一般的な場合の接点で一定となるので、より強い結果です。

本問は、同じ下に凸の指数関数 \(y=e^{x}\) で同じ構図を考えてみたらどうだろうかという問題でした。

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