仮想難関大

仮想難関大(オリジナル予想問題)【微積分~面積比一定問題~】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

仮想難関大シリーズということで、東大、京大をはじめとする旧帝大、東工大、国公立大学医学部医学科などの難関国公立大を想定したオリジナルの自作問題です。

「手垢の付いていない問題で力試しがしたい」

という方はぜひご活用ください。

今回は微積分の問題です。

\(y=xe^{nx}\) という関数の面白い性質を問いにしました。

基本的な微積分の練習問題としてご活用ください。

(以下ネタバレ注意)

 

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(1) について

\(f(x)=xe^{nx}\) として、素直に \(f''(x)=0\) となる \(x\) を求めにいきます。

  • \(f'(x)=(nx+1)e^{nx}\)
  • \(f''(x)=(nx+2)ne^{nx}\)

となりますから、\(l_{n}\) の傾きは

\(f'(-\displaystyle \frac{2}{n})=-e^{-2}\)

ということになり、確かに \(n\) によらない一定値となっています。

(2) について

普通に \(S_{1}\) ,  \(S_{2}\) を計算し、直接的に \(\displaystyle \frac{S_{1}}{S_{2}}\) を計算するという方針で問題ないでしょう。

面積計算をするにあたり、まずは位置関係や上下関係を把握します。

(1) の計算において、\(f'(x)\) ,  \(f''(x)\) は計算していますから、

という増減表を得ます。

そして、それをもとにして、\(y=f(x)\) ,  及び \(l_{n}\) のグラフを考えると

という状況となります。

区間によって下側の式が変わる \(S_{1}\) よりも、\(S_{2}\) を計算し、\(S_{1}\) については \(x\)軸、\(y\) 軸、\(l_{n}\) によってできる三角形の面積から \(S_{2}\) を引いて求めればよいでしょう。

結局は

\(\displaystyle \int xe^{nx} dx\)

という形の積分計算がメインの計算です。

これについては

部分積分

によって捌くことになります。

あとは計算ミスがないように丁寧に計算していくのみです。

証明形式で結論が分かっている分、最後の面積比は \(n\) が残らない形になるはずですから、心理的には楽でしょう。

今回は面積について考えましたが、回転体など他の話題にスポットが当たる可能性もあります。

各種図形量の計算には習熟しておきましょう。

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