実践演習 幾何・ベクトル系

二等分線上の点の位置ベクトル【長さと方向をどう準備するか】【2004年度 京都大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

二等分線上の点の位置ベクトルをどのように扱うかという問題です。

結局は

長さと方向をいかに準備するか

ということにエネルギーを注ぐことになります。

様々な考え方ができ、どれも教訓となる内容を含んでいると思いますので、実戦的な演習として良問です。

(以下ネタバレ注意)

 

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分野の選択について

見た目ベクトルの問題ですが、どの分野の問題として考えるかは別問題です。

図形問題の分野の選択

見た目通りベクトルの問題として解く

座標を導入する

幾何的に考える

というのが主なところでしょう。

長さと方向の準備

位置ベクトルを求めるにあたって、基準となる \(O\) からの方向と長さを準備する必要があります。

ベクトルの路線で攻めるなら

二等分線の方向ベクトルの導出方法として有名なのが

二等分線の方向ベクトルの導出

単位ベクトルを用いたひし形の対角線を利用する

という方法があります。

詳しくは【戦略1】【解1】を参考にしてください。

座標の路線で攻めるなら

点の座標が分かれば「長さ」が、傾きが分かれば「方向」が準備できるでしょう。

このあたりの導出過程は計算量も含めて多少のゴリ押し感がありますが、分かりやすさと言う点でやってみる価値はあります。

この路線については【戦略2】【解2】を参考にしてください。

幾何の路線で攻めるなら

思いつきにくいかもしれませんが、余弦定理を二辺挟角でない形で用いることにより、一気に長さを準備することができます。

どういうこと?と思うかもしれませんが、【戦略3】及び【解3】で詳しく解説しています。

ただし、これについては試験場で多数の受験生が採用する方針ではないでしょう。

あくまで観賞用の解答かなと思います。

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