実践演習 方程式・不等式・関数系

予選決勝法と固定の方法【円上の2点を固定する工夫】【1972年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

シンプルな問題ですが、泥沼に嵌まりかねない問題です。

手なりに文字を設定すると

\(A (\cos \alpha , \sin \alpha)\)

\(B(\sqrt{ 3 } \cos \beta , \sqrt{ 3 } \sin\beta)\)

\(C(\sqrt{ 3 } \cos \gamma , \sqrt{ 3 } \sin\gamma)\)

とおくと思います。

もちろんここから三角形 ABC の面積を出して、独立3変数関数の最大値問題として処理するという方針は数学的には正しいと思いますが、現実的に処理しきれる計算ではありません。
(少なくとも試験場では時間を失うだけでしょう。)

方針としては独立多変数についての最大問題ですから、「予選決勝法」という方針が最有力です。

予選決勝法とは

step
1
まず、他のもの(文字や点)を固定し、一つずつ動かしてそのときの最大(最小)を出す。

ここでは \(x ,  y\) の独立2変数関数の最大を例に出します。

例えば、\(y\) を固定して、\(x\) だけ動かしたときの最大値を求めます。

ここで得られるのは、

\(y=1\) のときの最大値、\(y=2\) のときの最大値、\(y=3\) のときの最大値、\(\cdots\)

といったような最大値「たち」です。
(これがいわば予選通過者で、\(y\) の式で与えられています)

step
2
次に固定していたものの固定を外し、総合的な最大(最小)を出す。

strp 1 で得られた最大値たちの中の最大値を求めにいきます。

それはすなわち

\(y\) がどんな値のときの最大値がチャンピオンなのか

ということですから、先ほど固定していた \(y\) の固定を外して動かしていきます。

そのときの最大値こそ総合的な最大値ということになります。

 

今回のテーマは予選決勝法というテーマに加え、「固定の方法の工夫」という部分もテーマの一つです。

3点が一気に動かれると訳が分からないので、まずは2点を固定し、1点だけに動いてもらいます。

もちろんこの2点は後々のことを考えれば \(B ,  C\)  でしょう。

ただ、闇雲に固定しても計算量は減りません。

そこをどう工夫するのかが、ポイントです。

解答を見る前に考えてみてください。

(以下ネタバレ注意)

 

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\(B ,  C\) を固定して \(A\) だけ動かした際、先ほどでいうところの予選通過者は「二等辺三角形」だと分かると思います。

二等辺三角形と言えども、

細長~い背高のっぽの二等辺三角形や、鈍角のずんぐりむっくりな二等辺三角形

など色々な形が考えられます。

これらの予選通過者たちに対して、どのような決勝戦を行うのか、どのように文字を固定するのかを考えてみてください。

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