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桁数、下一桁の値、最高位の値、といった定番の話題ではなく、
こういう問題はどう?
というメッセージ性が強い問題に感じたのは私だけでしょうか。
常用対数からのアプローチではなく、高次計算をどう工夫するかという要素が強い問題です。
(以下ネタバレ注意)
+ クリック(タップ)して続きを読む 与えられた \(7^{9}\) や \(7^{10}\) を活用しようと思うと、 \(2014^{10}\) を \(2^{10}\cdot 1007^{10}=2^{10}(1000+7)^{10}\) と見てやり、二項展開をすることを考えたくなります。 少しでも目に優しくするために、\(1000=x\) とでもおいてやり、 \(2014^{10}=2^{10}(7+x)^{10}\) と見て二項展開することを考えます。 一の位については訊かれていませんが、実質的には下二桁の扱いをすることになります。 すなわち、\(2014^{10}\) を \(100\) で割った余りを考えたくなるわけです。 法を \(100\) として合同式で \(100\) の倍数部分をどんどん無視して考えていきます。 法を \(100\) として \(x \equiv 0\) , \(x^{2} \equiv 0\) , \(\cdots\) であることに注意すれば、 \((7+x)^{10} \equiv 7^{10}\) と、\(x\) を含む項は無視することができます。 (2) では下6桁の扱いをするわけなので、\(2014^{10}\) を \(10^{6}\) で割った余りを考えたくなるわけです。 以下、法を \(10^{6}\) とします。 \(x=10^{3}\) であることに注意すると \(x^{2} \equiv 0\) , \(x^{3} \equiv 0\) , \(\cdots\) ということになり、 \((7+x)^{10} \equiv 7^{10}+{}_{10} \mathrm{ C }_1 \cdot 7^{9} \cdot x\) と、合同式で表せば、\(x^{1}\) の項までが残り、\(x^{2}\) 以降の項が無視できます。 ここから、合同式を用いて、\(2^{10}\) や \(7^{9}\) などに関する、合同式を用いた高次計算を頑張っていくことになります。 法を \(10^{6}\) とした合同式を繋いでいく際の意識としては、 下6桁を取り出す という意識で計算を進めていきましょう。 (3) がオチの問題です。 今まで、下□桁に注目してきましたが、今度は上の方の桁を考えたいわけです。 そうなると、二項展開した際の \(x^{10}\) や \(x^{9}\) などの次数が高い方に注目していくことになります。 逆に言えば、 ということになります。 どこまでが上三桁に影響を与えるかについては、筆算をイメージしながら一つずつ調べていけばよいでしょう。 問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 桁数に関する問題です。まずは教科書レベルの基本的な桁数問題を通じて、常用対数の運用の仕方をきちんと学習する必要があります。 ... 続きを見る 問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) シンプルな整数問題で、教訓を多く含む問題です。 場当たり的に解き進めても、腕力がある人はねじ伏せることができるでしょうが、できれば戦略的 ... 続きを見る 問題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 問題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 下二桁の数についてスポットを当てた問題を東大、京大から2題セレクトし ... 続きを見る 問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 桁数、最高位の数字、1の位など、このあたりは定番の話題ですが、本問はそれに加えて 最高位の次の数字 を聞いています。 一見面食らうかもし ... 続きを見る なども併せて解いてみると力になると思います。 問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 問題のインパクトが強いためか、結構有名な問題です。 桁数については、難関大志望者であれば落としたくはないレベルです。 問題 ... 続きを見る も実戦的な良問です。与えられた条件の活用を考える
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