実践演習 整数系

上三桁の値【高次計算の工夫】【合同式の扱い】【2014年度 岐阜大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

桁数、下一桁の値、最高位の値、といった定番の話題ではなく、

こういう問題はどう?

というメッセージ性が強い問題に感じたのは私だけでしょうか。

常用対数からのアプローチではなく、高次計算をどう工夫するかという要素が強い問題です。

(以下ネタバレ注意)

 

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与えられた条件の活用を考える

与えられた \(7^{9}\) や \(7^{10}\) を活用しようと思うと、

\(2014^{10}\) を

\(2^{10}\cdot 1007^{10}=2^{10}(1000+7)^{10}\)

と見てやり、二項展開をすることを考えたくなります。

目に優しく

少しでも目に優しくするために、\(1000=x\) とでもおいてやり、

\(2014^{10}=2^{10}(7+x)^{10}\)

と見て二項展開することを考えます。

十の位について

一の位については訊かれていませんが、実質的には下二桁の扱いをすることになります。

すなわち、\(2014^{10}\) を \(100\) で割った余りを考えたくなるわけです。

法を \(100\) として合同式で \(100\) の倍数部分をどんどん無視して考えていきます。

法を \(100\) として

\(x \equiv 0\) ,  \(x^{2} \equiv 0\) ,  \(\cdots\)

であることに注意すれば、

\((7+x)^{10} \equiv 7^{10}\)

と、\(x\) を含む項は無視することができます。

十万の位について

(2) では下6桁の扱いをするわけなので、\(2014^{10}\) を \(10^{6}\) で割った余りを考えたくなるわけです。

以下、法を \(10^{6}\) とします。

\(x=10^{3}\) であることに注意すると

\(x^{2} \equiv 0\) ,  \(x^{3} \equiv 0\) ,  \(\cdots\)

ということになり、

\((7+x)^{10} \equiv 7^{10}+{}_{10} \mathrm{ C }_1 \cdot 7^{9} \cdot x\)

と、合同式で表せば、\(x^{1}\) の項までが残り、\(x^{2}\) 以降の項が無視できます。

ここから、合同式を用いて、\(2^{10}\) や \(7^{9}\) などに関する、合同式を用いた高次計算を頑張っていくことになります。

法を \(10^{6}\) とした合同式を繋いでいく際の意識としては、

下6桁を取り出す

という意識で計算を進めていきましょう。

上三桁について

(3) がオチの問題です。

今まで、下□桁に注目してきましたが、今度は上の方の桁を考えたいわけです。

そうなると、二項展開した際の

\(x^{10}\) や \(x^{9}\)

などの次数が高い方に注目していくことになります。

逆に言えば、

  • 次数が低い方は上三桁に影響しない部分

ということになります。

どこまでが上三桁に影響を与えるかについては、筆算をイメージしながら一つずつ調べていけばよいでしょう。

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