実践演習 方程式・不等式・関数系

三角形の成立条件と判別式【覚えるべき部分とその場で判断する部分の線引き】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

なめてかかると火傷するタイプの問題です。

「判別式とるだけだろ?なめんなよ」

と威勢よく取り組みだすと、だんだん青ざめていく人が増えていくと思います。

(以下ネタバレ注意)

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最初の一手はもちろん判別式

\(y=bx^{2}+(b+c-a)x+c\) という下に凸の放物線が \(x\) 軸と交点をもたなければ、全ての実数 \(x\) で

\(bx^{2}+(b+c-a)x+c \gt 0\)

ということが言えます。

なのでもちろん、最初の一手は

\(bx^{2}+(b+c-a)x+c=0\) の判別式を \(D\) として \(D \lt 0\) を目指すという方針です。

\(D=(b+c-a)^{2}-4bc\) ですから、整理すると

\(D=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2bc-2ca\)

となります。

このあたりから、血の気が引いていくでしょう。

上手くいかないのは当然

手が止まるのは当然で、

  • \(a\) ,  \(b\) ,  \(c\)  が三角形の辺の長さを表す

という条件を使っていません。

つまり、

$$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a+b \gt c \\
b+c \gt a\\
c+a \gt b
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$

という条件をどこかで使う必要が出てくるわけです。

それを念頭に置けば

\(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2bc-2ca\)

\(=2 (a^{2}+b^{2}+c^{2})-2ab-2bc-2ca-(a^{2}+b^{2}+c^{2})\)

\(=(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})\)

\(=\{(a-b)^{2}-c^{2}\}+\{(b-c)^{2}-a^{2}\}+\{(c-a)^{2}-b^{2}\}\)

\(=(a-b+c)(a-b-c)+(b-c+a)(b-c-a)+(c-a+b)(c-a-b)\)

という式変形に辿り着きます。

とは言え、これは有名恒等式

有名恒等式

\(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=\displaystyle \frac{1}{2}\{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\}\)

が自分のものになっていないとツライと思います。

追加問題について

例題で終わっては面白さ半減です。

次の追加問題もセットで考えると面白いです。

追加問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

追加問題は先ほどの例題の

\(a\) ,  \(b\) ,  \(c\)  を \(a^{2}\) ,  \(b^{2}\) ,  \(c^{2}\) に変えただけです。

「さっきと同じだろ、なめんなよこの野郎」

と意気揚々と先ほどの例題の解答をなぞると

\(D=(a^{2}-b^{2}+c^{2})(a^{2}-b^{2}-c^{2})+(b^{2}-c^{2}+a^{2})(b^{2}-c^{2}-a^{2})+(c^{2}-a^{2}+b^{2})(c^{2}-a^{2}-b^{2})\)

として、

「あれ?鋭角三角形だったらいいんだけど \(\cdots\)」

と、鉛筆を噛み始めることになります。

例題の解答はコチラ

追加問題の解答はコチラ

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