テーマ別演習 一般化

一般化 第2講【欲しいものを準備する】【2002年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

今回のテーマ別演習では「一般化」という考え方を自分のモノにします。

問題文で与えられている特殊なシチュエーションを、より一般のシチュエーションに拡張して考えるという手法です。

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一般化 第1講【形から関数を設定する】【2015年度 信州大学】

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一般化 第2講【欲しいものを準備する】【2002年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習では「一般化」という考え方を自分のモノにします。 問題文で与えられている特殊なシチュエーションを、より一般のシチュエーションに拡張して考えるという手法です。 このシリーズの一覧はコチラ 第2講では、「欲しいものを準備する」ということをテーマとします。 基本的には第1講で学んだように、形を見て、 「これが欲しい」 という気持ちが湧きあがるかどうかが大切です。 今回は第1講の要素に加えて、少し深みのある問題です。 (以下ネタバレ ...

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一般化 第3講【定積分の扱い】【1968年度 筑波大学】

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一般化 第4講【分野の拡張】【2007年度 京都大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題2はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習では「一般化」という考え方を自分のモノにします。 問題文で与えられている特殊なシチュエーションを、より一般のシチュエーションに拡張して考えるという手法です。 このシリーズの一覧はコチラ 第4講では、「分野の拡張」ということをテーマとします。 一般化することで強力な武器が手に入ることを実感してくださ ...

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第2講では、「欲しいものを準備する」ということをテーマとします。

基本的には第1講で学んだように、形を見て、

「これが欲しい」

という気持ちが湧きあがるかどうかが大切です。

今回は第1講の要素に加えて、少し深みのある問題です。

(以下ネタバレ注意)

 

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示すべき不等式をほぐす

今回比較する2数

\((1+\displaystyle \frac {2001}{2002})^{\frac{2002}{2001}}\) ,  \((1+\displaystyle \frac {2002}{2001})^{\frac{2001}{2002}}\)

そのものを比べるというよりは、これらに自然対数をとった

\(\displaystyle \frac {2002}{2001} \log{(1+\displaystyle \frac {2001}{2002})}\) ,  \(\displaystyle \frac {2001}{2002} \log{(1+\displaystyle \frac {2002}{2001})}\)

を比較することを考えたいところです。

これを

\(f(\displaystyle \frac {2002}{2001})\) と \(f(\displaystyle \frac {2001}{2002})\) の勝負

という形で見立てたいという気持ちから

\(f(x)=x\log{(1+\displaystyle \frac {1}{x})}\)

という関数の設定に辿り着くと思います。

微分すると

\(f'(x)=\log{(1+\displaystyle \frac {1}{x})}-\displaystyle \frac {1}{x+1}\)

という形が得られます。

次の興味

そうなると次の興味は

\(\log{(1+\displaystyle \frac {1}{x})}\) と \(\displaystyle \frac {1}{x+1}\) の大小

ということになりますから

\(g(x)=\log{(1+\displaystyle \frac {1}{x})}-\displaystyle \frac {1}{x+1}\)

と設定し、再び微分すると

\(g'(x)=-\displaystyle \frac {1}{x(x+1)^{2}} \lt 0\)

となり、\(x \gt 0\) の範囲で

  • \(g(x)\) は単調減少
  • \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}g(x)=0\)

ということから ,  \(x \gt 0\) の範囲で

\(g(x) \gt 0\)

ということが言え、勝負ありです。

解答では、これを逆算的に(天下り的に)記述していきます。

ちょっとした繋がり

実は実践演習

参考累乗根と大小比較【2002年度 名古屋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 5乗根に関する数の大小比較の問題です。 目に付いた特徴によって様々な解法が考えられるあたりが面白いところです。 結論自体に辿り着くことは ...

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において、同じ 2002 年度の名古屋大学文系の問題を取り上げました。

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

この問題が、本問とどのように関わっているかについて【総括】の中で少し触れてあります。

ある意味、違う方面での「一般化」ということが言えるかもしれません。

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