テーマ別演習 一般化

一般化 第1講【形から関数を設定する】【2015年度 信州大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

今回のテーマ別演習では「一般化」という考え方を自分のモノにします。

問題文で与えられている特殊なシチュエーションを、より一般のシチュエーションに拡張して考えるという手法です。

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一般化 第1講【形から関数を設定する】【2015年度 信州大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習では「一般化」という考え方を自分のモノにします。 問題文で与えられている特殊なシチュエーションを、より一般のシチュエーションに拡張して考えるという手法です。 このシリーズの一覧はコチラ 第1講では、形から関数を設定する力を身につけることを目標とします。 例題の問題は非常にシンプルですが、しっかりと基礎的な部分で差が付きます。 数学の発想の素となる 「こういうことをしてみたい(調べてみたい)」 という素朴な気持ちや感性を鍛えて ...

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一般化 第2講【欲しいものを準備する】【2002年度 名古屋大学】

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一般化 第3講【定積分の扱い】【1968年度 筑波大学】

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一般化 第4講【分野の拡張】【2007年度 京都大学ほか】

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第1講では、形から関数を設定する力を身につけることを目標とします。

例題の問題は非常にシンプルですが、しっかりと基礎的な部分で差が付きます。

数学の発想の素となる

「こういうことをしてみたい(調べてみたい)」

という素朴な気持ちや感性を鍛えていきましょう。

(以下ネタバレ注意)

 

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心構え

ひとまず、我々が心に刻みたいことは

我々は具体的な数に対して何もできない

ということです。

我々がこれまで学んできた数学的な手法のほとんどは

変数にまつわる手法

です。

一般的に変化する \(x\) に対するふるまいを扱う道具が

関数 \(f(x)\)

であり、そのふるまいを捉える手法の代表選手が「微分法」です。

形を揃えて比較する

今回示すべき

\(\sqrt{2} \lt e^{\frac{1}{e}}\)

という不等式をこのまま見ていても埒があきません。

比較するにしても

何かしら形が揃っている

という状況が必要です。

そこで、示すべき不等式を指数での表記に合わせて

\(2^{\frac{1}{2}} \lt e^{\frac{1}{e}}\)

という形で見ます。

関数の設定

ここまでくれば、今回比較する2数は

\(f(x)=x^{\frac{1}{x}}\)

という関数 \(f(x)\) における

\(f(2)\) と \(f(e)\)

ということが分かると思います。

したがって、関数 \(f(x)\) のふるまいを調べにいきます。

範囲としては底の条件や、\(\displaystyle \frac{1}{x}\) の定義域、及び最終的に代入する \(2\) や \(e\) が含まれる

\(x \gt 0\)

で設定すればよいでしょう。

ここから先は基本のお話です。

対数微分法

\(f(x)=x^{\frac{1}{x}}\) のように、底にも指数にも変数が入っている場合、

対数微分法

という手法を用いて捌くのが基本です。

\(y=x^{\frac{1}{x}}\) において、両辺自然対数をとると

\(\log{y}=\displaystyle \frac{1}{x} \log{x}\)

となります。

これを両辺 \(x\) で微分すると

$$\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{1}{y} \cdot \displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{x} \cdot x-\log{x}}{x^{2}} \\
&=& \displaystyle \frac{1-\log{x}}{x^{2}}
\end{eqnarray}$$

となりますから、我々が欲しい導関数に相当する \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) は

$$\begin{eqnarray}
\displaystyle \frac{dy}{dx} &=& y \cdot \displaystyle \frac{1-\log{x}}{x^{2}} \\
&=& x^{\frac{1}{x}} \cdot \displaystyle \frac{1-\log{x}}{x^{2}}
\end{eqnarray}$$

ということになります。

したがって、\(x \gt 0\) の範囲では、\(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) の符号は

  • \(1-\log{x}\) の符号に依存する

ということになり、その符号は

  • \(y=1\) ,  \(y=\log{x}\) のグラフの上下関係

から読み取ります。

この後は増減表を書き、目論見通り

\(f(2)\) ,  \(f(e)\) の大小

を考えればよいことになります。

ちょっとした工夫

示すべき不等式を

\(2^{\frac{1}{2}} \lt e^{\frac{1}{e}}\)

と見て、

\(f(x)=x^{\frac{1}{x}}\)

と設定してもよいですが、もう少し工夫してみます。

示すべき不等式の両辺自然対数をとってみると

\(\displaystyle \frac{1}{2} \log{2} \lt \displaystyle \frac{1}{e} \log{e}\)

です。

このように見ると

\(f(x)=\displaystyle \frac{1}{x} \log{x}\)

と設定して

\(f(2)\) と \(f(e)\) を比較する

ということになります。

先ほどの対数微分法と比較すると

  • 関数設定してから対数をとる
  • 対数をとって比較対象をほぐしてから関数設定をする

という順番の違いであり、上記の対数微分法と本質的にはあまり変わってはいません。

ただ、難問になってくると

示すべき不等式をできるだけほぐす

という態度がモノをいうこともありますので、狙えるなら狙っていきましょう。

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