テーマ別演習 フィボナッチ数列とリュカ数列

フィボナッチ数列とリュカ数列 第2講【リュカ数列の一般項】【隣接2項の最大公約数と極限】【1994年度 姫路工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。

古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。

細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。

一つのストーリーとして気がついたら頭に入っていたという状態となれば幸いです。

シリーズ一覧

フィボナッチ数列とリュカ数列 第1講【ビネの公式と黄金比】【フィボナッチ数列の和】【1994年度 関西医科大学ほか】

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第2講【リュカ数列の一般項】【隣接2項の最大公約数と極限】【1994年度 姫路工業大学】

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第3講【相互関係】【2007年度 埼玉大学】

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第4講【フィボナッチ数列の平方和】【2007年度 福島大学ほか】

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フィボナッチ数列とリュカ数列 第5講【カッシーニ・シムソンの定理】【1985年度 広島大学ほか】

例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 今回のテーマ別演習ではフィボナッチ数列、及びリュカ数列にまつわる話題を取り扱っていきます。 古典的な内容となるため、いいか悪いかは別として知っている人からすればアドバンテージになり得る内容です。 細かな知識を事細かに逐一全て覚えなきゃと身構える必要はなく、高校で学習する基本事項の運用で訊かれていることを導出できればそれで構いません。 一つのストーリーとして気がついたら頭に入ってい ...

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第2講は

  • リュカ数列の一般項
  • 隣接2項が互いに素であること
  • 隣接2項の比の極限

について扱います。

第1講で扱ったフィボナッチ数列と同様の性質が成り立っていることを確認していきましょう。

(以下ネタバレ注意)

 

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リュカ数列とは

リュカ数列

  • \(a_{1}=1\) ,  \(a_{2}=3\) ,  \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\)

で与えられる数列をリュカ数列と言い、この数列に現れる数をリュカ数と言います。

フィボナッチ数列との違いは最初の2項で、

  • 前の2項を加えて次の項を作る

という項の生成の要領は同じです。

リュカ数列の一般項

リュカ数列の一般項は

リュカ数列の一般項

  • \(a_{n}=(\displaystyle \frac {1+\sqrt{5}}{2})^{n}+(\displaystyle \frac {1-\sqrt{5}}{2})^{n}\)

という形で与えられます。

本問は

\(a_{n}={\alpha}^{n}+{\beta}^{n}\)

というように、

一般項 → 漸化式

という流れの設問になっています。

導出過程は解答 PDF をご覧ください。

漸化式 → 一般項

と導出したい場合は、当然隣接3項間漸化式を解くことになります。

隣接2項についての性質

隣接2項が互いに素であるという性質について

フィボナッチ数列、及びリュカ数列について

  • 隣接する2項は互いに素である

ということが言えます。

証明は漸化式が手元にあれば数学的帰納法が最有力路線です。

\(n=k\) のときの成立から \(n=k+1\) のときの成立を示す過程で、

背理法

を用いて捌いていきます。

帰納法の中で背理法を用いるという独特な流れについては

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というシリーズで解説しています。

本問の (3) で扱っているわけですが、詳しい解答は解答 PDF をご覧ください。

隣接2項の比の極限

\(\alpha=\displaystyle \frac {1-\sqrt{5}}{2}\) ,  \(\beta=\displaystyle \frac {1+\sqrt{5}}{2}\) に対して

\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\displaystyle \frac {{\alpha}^{n+1}+{\beta}^{n+1}}{{\alpha}^{n}+{\beta}^{n}}\)

となります。

結論的には

  • \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\displaystyle \frac {1+\sqrt{5}}{2}\)

と、第1講で扱ったフィボナッチ数列の隣接2項の比の極限と同様に

隣接2項の比が黄金数に収束する

ということが言えます。

解答はコチラ

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