実践演習 方程式・不等式・関数系

y=xについて対称な2曲線【式で攻めるか、図で攻めるかの判断】【1989年度 東京大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)

 

シンプルな問題です。

こういう問題はいったん手が止まってしまうと、ムキになって冷静さを失いかねませんから、試験場だと難易度とは別に危険なタイプの問題ですね。

時間無制限で取り組む分には得られる教訓も多く、いい問題です。

 

(以下ネタバレ注意)

 

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まずは、

本問の選択肢

  • 図形的に攻める
  • 式から攻める

という2路線の検証ですが、図形的に攻めるのは得策ではないでしょう。

曲線と曲線の状態がどうなっているのかについては、自分の思い込みによって都合よく捉えてしまい、見落としが多くなりがちです。
(特に凸性が同じ2曲線は怖いです)

要するに

「あなたの絵が下手くそなだけで、実はこうなっているかもしれないじゃない」

と突っ込まれる隙を与えかねないということです。

そこで、今回は式的に攻めるという路線を取りたいと思います。

とは言え、まともに文字消去してぶつかると、\(x\) についての9次方程式が出てきます。

普通に考えれば冗談じゃないですね。

今回の式には \(x\) と \(y\) に関する対称性がありますから、

ポイント

対称性のある式は対称性を崩さない

という教訓を学びましょう。

これは分野を問わず大切な教訓です。

そのことについて触れてある記事については、分野は違いますが

内積についての論証問題【必要性と十分性の論証】【1987年度 東京水産大学】

2020/12/12    

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   内積は値(スカラー)だという認識が弱い数学が苦手な受験生は \(\vec p\) の形を見て心を閉ざしてしまいます。 一方 ...

を読んでいただけると、別の角度から同じ教訓が学べると思います。

その他にも様々な別解が考えられます。
(先ほどの9次方程式を相手にするにあたって、工夫の余地もあります。)

まずは自力で進めることができる部分まで取り組んでみてください。

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