数列

2021/4/18

等比数列と等差数列がかみ合った数列【構造を把握する力を試す】【1986年度 一橋大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   連続3項間の関係が等比数列、等差数列を繰り返しているという、数列を扱った問題です。 構造的には 前の2項の情報が分かったら、その次が分かる という構造です。 色々な考え方や方針がありますので、まずは自由に考えてみてください。   (以下ネタバレ注意)   + クリック(タップ)して続きを読む 具体的に実験してみると 初期条件が \(a_{1}=1\) ,  \(a_{2}=2\) ですから、\(a_{3}\) ...

2021/4/17

カッシーニ・シムソンの定理【2012年度 兵庫県立大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)       一見すると複雑な漸化式です。 そこで「実験してごらん」という設問を (1) につけてくれています。 この実験から何を見出すかが大切です。 (以下ネタバレ注意)     + クリック(タップ)して続きを読む この漸化式は「\(a_{n}\) が分かっている」という前提では \(a_{n+1}^{2}-■a_{n+1}+▲=0\)  という \(a_{n+1}\) についての2次方程式 ...

2021/4/17

ペル方程式 第3講【ペル方程式とブラーマグプタの恒等式】【1998年度 お茶の水女子大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。) 「ペル方程式」シリーズ第3弾です。 このシリーズの一覧はこちら 併せて学習すると、理解が深まると思います。   さて、今回はペル方程式を不思議な恒等式(ブラーマグプタの恒等式)からアプローチするという問題です。 このブラーマグプタの恒等式をどう使っていくか、という活用力が問われます。 式の形を観察する力や、その形から次の一手をインスピレーションする力など、脳の様々な場所が刺激されると思います。 ぜひトライしてみてください。 &nbs ...

2021/4/17

ペル方程式 第2講 【ペル方程式の解と二項展開】【1994年度 東京工業大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   「ペル方程式」シリーズ第2弾です。 このシリーズの一覧はこちら   今回は一見ペル方程式を前面に押し出しているわけではないですし、知識の有無が出来不出来には直結しません。 ただ、前回の内容を学習した状態で、本問を最後まで解ききってみると、一本の線で何かが繋がる感覚になると思います。 以下は単純に「純粋にこの問題を解く」という観点の内容です。 ( 以下ネタバレ注意 )   +クリック(タップ)して続きを読む 帰 ...

2021/4/17

ペル方程式 第1講 【ペル方程式とは】【ペル方程式の解とn乗展開】【2010年度 三重大学】

問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)   表向きは数学的帰納法の標準的な練習問題です。 本問を解くだけならば、そこまで難しい話ではありません。 (『数学的帰納法により示せ』と方針まで書いてくれています。) ただ、それで終わらすにはもったいない話題である「ペル方程式」を扱った問題なので、少しふれておこうと思い、今回シリーズものとしてテーマ別演習で扱うことにしました。 このシリーズの一覧はこちら   ペル方程式とは \(x^2-Dy^2=\pm 1\)  ( \( ...

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