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連続３項間の関係が等比数列、等差数列を繰り返しているという、数列を扱った問題です。
構造的には
前の２項の情報が分かったら、その次が分かる
という構造です。
色々な考え方や方針がありますので、まずは自由に考えてみてください。
（以下ネタバレ注意）
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具体的に実験してみると
初期条件が \(a_{1}=1\) , \(a_{2}=2\) ですから、\(a_{3}\) は等比数列と見て \(a_{3}=4\)
\(a_{2}=2\) , \(a_{3}=4\) ですから、\(a_{4}\) は等差数列と見て \(a_{4}=6\)
このように考えて以後も実験を続けてみると
1 , 2 , 4 , 6 , 9 , 12 , 16 , 20 , \(\cdots\)
となりますが、ここから何を見出すかです。
奇数番目が分かりやすく、平方数となっています。
つまり、\(a_{2m-1}=m^{2}\) だと予想できます。
偶数番目の方は 2 , 6 , 12 , 20 , \(\cdots\) で、少し予想が立てづらいかもしれませんが
＜方法１＞：\(1\times 2\) , \(2 \times 3\) , \(3\times 4\) , \(4\times 5\) , \(\cdots\)と見る
もしこのように見ることができれば、 \(a_{2m}=m(m+1)\) という予想が立ちます。
一発でそのように見ることができなかったとしても
＜方法２＞：階差数列をとってみる（4 , 6 , 8 , \(\cdots\) となっています）
という方針でも予想が立ちます。
いずれにせよあくまで「予想」にすぎませんから、その予想を裏付ける必要があります。
その方針としてはやはり数学的帰納法ということになります。
また、予想を証明するという方針以外にも、直接漸化式を作ることで処理する方針もあります。
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