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一見すると複雑な漸化式です。
そこで「実験してごらん」という設問を (1) につけてくれています。
この実験から何を見出すかが大切です。
（以下ネタバレ注意）
+ クリック（タップ）して続きを読む この漸化式は「\(a_{n}\) が分かっている」という前提では \(a_{n+1}^{2}-■a_{n+1}+▲=0\) という \(a_{n+1}\) についての２次方程式と見なせ、そこから \(a_{n+1}\) が求まるという構造です。 (2) では数列 {\(a_{n}\)} が単調増加数列であることの証明です。 関数だと \(f'(x) \geq 0\) を目指しますが、数列では「\(a_{n+1}-a_{n} \geq 0\)」を目指します。 つまり、階差数列を意識することになるわけです。 漸化式から階差数列を作る手法としては 階差数列を作る手法 番号をずらして辺々操作 が常套手段です。 本問の場合、この方法で番号をずらすと $$a_{n+1}^{2}-a_{n}a_{n+1}-a_{n}^{2}=(-1)^{n} \ \cdots ①$$ $$a_{n+2}^{2}-a_{n+1}a_{n+2}-a_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1} \ \cdots ②$$ 右辺は一方が１、他方が \(-1\) なので、辺々足せば \(a_{n+1}^2\) の項が消えて \(a_{n+2}^{2}-a_{n}^{2}-a_{n+1}a_{n+2}-a_{n+1}a_{n}=0\) でこれを因数分解すれば $$(a_{n+2}+a_{n})( {(a_{n+2}-a_{n})-a_{n+1} })=0$$ を得て、数列 {\(a_{n}\)} が正の項からなる数列であるという条件を加味すれば、 $$a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$$ というフィボナッチ構造を得ることになります。 注意 厳密には、\(f_{1}=f_{2}=1 \ , \ f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}\) と初期条件が 1 , 1 であるものをフィボナッチ数列と呼びます。 今回は初項が違うので「フィボナッチ構造」という呼び方をすることにします。 解説においても同様の呼び方をします。 フィボナッチ構造であることから「そりゃ単調増加だわ」となりますね。 そして(3)も同時に解決でしょう。